【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算讲解与例题 新人教A版选修22.doc

3.2.2复数代数形式的乘除运算问题导学一、复数的乘法与除法运算活动与探究1计算下列各题：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i；(3)；(4)；(5)迁移与应用1设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_2计算：6(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(zm)nzmn进行转化运算二、in及n的性质活动与探究2求下列各式的值：(1)1ii2i3i2 014；(2)2 014；(3)812迁移与应用1复数z，则z2z4z6z8z10的值为()a1 b1 ci di2计算i2 0155010(1)计算复数的乘积常用到虚数单位i的乘方，in有如下性质：i1i，i21，i3i，i41，对任意nn都有i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(2)由方程x310，得x11，x2,3i取1i，2i，则有1；2，1；1120；121；3n1，3n1，3n22等性质解题时适当变形，运用的性质可达到事半功倍的效果三、共轭复数活动与探究3(1)已知复数z1i，求实数a，b，使az2b(a2z)2；(2)若f(z)2z3i，f(i)63i，求复数z迁移与应用1若|z|3，z0，则复数z_2已知x1yi与i3x是共轭复数，求实数x与y的值(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式z|z|2|2进行化简并计算四、复数的综合应用活动与探究4设z是虚数，z是实数，且12，(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u，求证：u为纯虚数；(3)求u2的最小值迁移与应用1已知2n，则最小正整数n为_2设等比数列zn中，z11，z2abi，z3bai(a，br且a0)(1)求a，b的值；(2)试求使z1z2zn0的最小正整数n；(3)对(2)中的正整数n，求z1z2z3zn的值在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为xyi(x，yr)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决答案：课前预习导学【预习导引】1(1)(acbd)(adbc)i(2)z2z1(z1z2)z3z1z2z1z3预习交流1(1)提示：成立复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2c，则有(z1z2)2z2z1z2z，zz(z1z2)(z1z2)等不成立例如当x1i，y1i时，x2y2(1i)2(1i)20，但这时并没有xy0(2)提示：i6i21；i29i1i；i15i3i；i7i8i9i10i1i102(1)实部虚部共轭虚数abi预习交流2提示：(1)当zr时，z，即一个实数的共轭复数是它自身(2)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数事实上，若zabi(a，br)，那么z(abi)(abi)a2b2，且有z|z|2|23i预习交流3(1)提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可(2)提示：i；i课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：根据复数乘法和除法的运算法则，运算律进行计算，对于除法运算要特别注意分母实数化方法的应用解：(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i；(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i；(3)1i；(4)1i；(5)原式ii0迁移与应用12解析：z(23i)64i，z2i，|z|22解法1：原式6i61i解法2：原式6i61i活动与探究2思路分析：将所求值式先进行适当化简变形，使之出现in及n的形式，再根据in及n的周期性进行计算解：(1)i4ni4n1i4n2i4n31i1i0，1ii2i3i2 014(1ii2i3)(i4i5i6i7)(i2 008i2 009i2 010i2 011)i2 012i2 013i2 0140i4503i45031i45032i；(2)原式1 007i1 007ii1 007ii42513ii0；(3)原式8(i)121212488i178i迁移与应用1b解析：因为zi，所以有z2z4z6z8z10(i)2(i)4(i)6(i)8(i)101111112解：原式i450332510i325ii25ii2i2i1616i1618i活动与探究3思路分析：利用共轭复数的定义及两复数相等的充要条件列方程组求解解：(1)z1i，az2ba(1i)2b(1i)a2b(a2b)i，(a2z)2(a22i)2(a2)244(a2)ia，b都是实数，由复数相等的充要条件，得即解得或(2)f(z)2z3i，f(i)2(i)(i)3i22izi3i2z2i又f(i)63i，2z2i63i，即2z6i设zxyi(x，yr)，则xyi2(xyi)xyi3xyi6i，z2i迁移与应用13i或3i解析：设zxyi(x，yr)，则有xyi，因此解得或即z3i或3i2解：x，y为实数，活动与探究4思路分析：(1)按常规解法，设zxyi(x，yr)，化简z，找出实部、虚部可以列出等量关系式求解；(2)证明u为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，或证明u0，且u0；(3)要求u2的最小值，由(1)，(2)知与u2均为实数，所以可先建立u2的函数关系，再设法求出最小值(1)解：z是虚数，可设zxyi，x，yr，且y0zxyixyixi是实数且y0，y0，x2y21，即|z|1此时2x12，12x2，从而有x1，即z的实部的取值范围是(2)证明：uix，y0，0，u为纯虚数(3)解：u22x22x22x2x2x12(x1)3x1，1x0于是u22(x1)3231当且仅当2(x1)，即x0时等号成立u2的最小值为1，此时zi迁移与应用13解析：原等式可化为2n，即(1i)2n(1i)(1i)2n(1i)22n，(2i)n(1i)(2i)n(1i)22n，2nin(1i)2n(i)n(1i)22n，in(1i)(1)n(1i)2若n2k(kn*)，则i2k(1i)(1i)2，i2k1，kmin2，从而有nmin4；若n2k1(kn*)，则i2k1(1i)(1i)2，故2i2k2，i2k1，kmin2，从而有nmin3对于nn*时，最小正整数为32解：(1)z1，z2，z3成等比数列，zz1z3，即(abi)2baia2b22abibai，(a0)，解得(2)z11，z2i，公比qi欲使z1z2zn0，只需qnn(i)nn1当n既是3的倍数又是4的倍数时，满足qn1，n的最小值为12(3)由(2)知n12，则z1z2z3z121211121166(i)66661当堂检测1若复数z满足zi1i，则z等于()a1i b1ic1i d1i答案：a解析：由zi1i，得2复数对应的点在复数平面的第()象限a四 b三c二 d一答案：c解析：，故z对应的点在复平面的第二象限3若复数z满足，则z_答案：解析：设zabi(a，br)，则abi，|z|(abi)i3i，bai3i，解得a3，即z34设x，y为实数，且，则xy_答案：4解析：x(1i)y(1