高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数与函数的单调性优选课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第14讲导数与函数的单调性 栏目导航 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 且导函数f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 1 思维辨析 在括号内打 或 1 若可导函数f x 在区间 a b 上单调递增 那么在区间 a b 上一定有f x 0 2 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则函数f x 在此区间内没有单调性 解析 1 错误 可导函数f x 在区间 a b 上单调递增 则f x 0 故f x 0是f x 在区间 a b 上单调递增的充分不必要条件 2 正确 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如f x 3 则f x 0 函数f x 不存在单调性 b 3 已知函数y f x 的图象是下列四个图象之一 且其导函数y f x 的图象如图所示 则该函数的图象是 b 解析从导函数的图象可以看出 导函数值先增大后减小 x 0时最大 所以函数f x 的图象的变化率先增大后减小 在x 0时变化率最大 a项 在x 0时变化率最小 故错误 c项 变化率是越来越大的 故错误 d项 变化率是越来越小的 故错误 b项正确 4 已知函数f x mx3 3 m 1 x2 m2 1 m 0 的单调递减区间是 0 4 则m 利用导数求函数的单调区间的两种方法的步骤方法一 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 令f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 令f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 一求函数的单调区间 方法二 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判断函数在每个相应区间内的单调性 例1 2017 全国卷 已知函数f x lnx ln 2 x 则 a f x 在 0 2 单调递增b f x 在 0 2 单调递减c y f x 的图象关于直线x 1对称d y f x 的图象关于点 1 0 对称 c 二已知函数的单调性求参数的范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1 可导函数在某一区间上单调 实际上就是在该区间上f x 0 或f x 0 f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 恒成立 然后分离参数 转化为求函数的最值问题 从而获得参数的取值范围 2 可导函数在某一区间上存在单调区间 实际上就是f x 0 或f x 0 在该区间上存在解集 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题 3 若已知f x 在区间i上的单调性 区间i中含有参数时 可先求出f x 的单调区间 令i是其单调区间的子集 从而可求出参数的取值范围 例3 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在r上为增函数 求a的取值范围 2 若f x 在 1 上为增函数 求a的取值范围 3 若f x 在 1 1 上为减函数 求a的取值范围 4 若f x 的单调递减区间为 1 1 求a的值 5 若f x 在 1 1 上不单调 求a的取值范围 解析 1 f x 在r上为增函数 f x 3x2 a 0在r上恒成立 a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只需a 0 又 a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在r上为增函数 a的取值范围是 0 2 f x 3x2 a 且f x 在 1 上为增函数 f x 0在 1 上恒成立 3x2 a 0在 1 上恒成立 a 3x2在 1 上恒成立 a 3 即a的取值范围是 3 3 f x 3x2 a 且f x 在 1 1 上为减函数 f x 0 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2在 1 1 上恒成立 x 1 1 3x2 3 即a 3 a的取值范围是 3 三构造法在函数单调性中的应用 构造法在函数单调性中的应用技巧对于含有导函数不等式的试题 一般要依据导函数不等式 或其变式 和所求结论构造新的函数 并对构造的新函数求导 研究其单调性 应用构造新函数的单调性将所求问题转化求解 b c 解析 1 令g x f x 2x 4 则g x f x 2 f x 2 f x 2 0 即g x 0 g x f x 2x 4在r上单调递增 又 f 1 2 g 1 f 1 2 0 g x 0 g x g 1 x 1 f x 2x 4的解集是 1 故选b 1 函数f x 的定义域为r f 0 2 对任意的x r f x f x 1 则不等式ex f x ex 1的解集是 a x x 0 b x x1 d x x 1或0 x 1 a 解析令g x ex f x ex 1 则g x ex f x ex f x ex ex f x f x 1 f x f x 1 g x ex f x f x 1 0 g x 在r上是增函数 又 g 0 e0 f 0 e0 1 0 ex f x ex 1 ex f x ex 1 0 g x 0 g x g 0 x 0 故选a 2 求下列函数的单调区间 1 f x 3x2 2lnx 2 f x x2 e x 3 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间 2 由 1 知a 3 因此f x x3 3x2 9x 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 3 上为增函数 综上 函数f x 的单调递增区间为 1 和 3 单调递减区间为 1 3 错因分析 不清楚可导函数f x 在某区间上f x 0