【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.2 圆的一般方程目标导学 北师大版必修2 .doc

2.2圆的一般方程学习目标重点难点1.在掌握圆的标准方程的基础上，记住圆的一般方程的代数特征，会由圆的一般方程确定圆的圆心和半径掌握方程x2y2dxeyf0表示圆的条件2能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程3培养探索发现及分析解决实际问题的能力.重点：圆的一般方程的代数特征一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数d，e，f.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用疑点：对方程x2y2dxeyf0的讨论(什么时候可以表示圆).1圆的一般方程的定义当d2e24f0时，二元二次方程x2y2dxeyf0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程2方程x2y2dxeyf0表示的图形方程条件图形x2y2dxeyf0d2e24f0不表示任何图形d2e24f0表示点d2e24f0表示以为圆心，以为半径的圆预习交流1二元二次方程ax2by2cxydxeyf0表示圆的等价条件是什么？提示：预习交流2方程x2y22x2y20表示什么图形？提示：表示点(1，1)预习交流3圆的一般方程：x2y2dxeyf0具有什么特征？提示：x2项和y2项的系数相等，且不为零；是二元二次方程且没有xy这样的二次项；参数d，e，f满足d2e24f0.预习交流4方程x2y22axbyc0表示圆心为c(2,3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次为()a2,6,4 b2,6,4c2，6,4 d2，6，4提示：b1二元二次方程同圆的关系下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)x22y27x50；(2)x2xyy23x5y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y210y0.思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆(3)方程x2y22x4y100可化为(x1)2(y2)250，显然不表示圆(4)方程2x22y210y0可化为x22，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆1判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径解：方法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知d4m，e2m，f20m20，d2e24f16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点，当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.方法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点，当m2时，表示圆的方程此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.2若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解：(1)根据题意知d2e24f(2m2)(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等，(2)是否含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆2利用待定系数法求圆的一般方程已知一圆过p(4，2)，q(1,3)两点，且在x轴上截得的线段长为4，求圆的方程思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x轴上截得的线段长为4”，常见思路是设圆的方程的一般式x2y2dxeyf0，令y0利用|x1x2|4及p，q两点满足圆的方程求解参数d，e，f.解：设圆的方程为x2y2dxeyf0，将点p，q的坐标分别代入得：令y0，由得x2dxf0，由已知|x1x2|4，其中x1，x2是方程的两根，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2d24f48，解，组成的方程组得d4，e2，f8.故所求圆的方程为x2y24x2y80.1建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形abcd的外接圆p的方程解：以a为原点，以线段ab所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系设abd的外接圆的一般方程为x2y2mxeyf0.将a(0,0)，b(8，0)，d(0,6)三点代入，得解得故所求圆的方程为x2y28x6y0.2圆心在直线2xy70上的圆c与y轴交于a(0，4)，b(0，2)两点，求圆c的方程解：设圆c的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，则圆心c在直线2xy70上，270，即d70.又a(0，4)，b(0，2)在圆上，由解得d4，e6，f8，圆的方程为x2y24x6y80.用待定系数法求圆的一般方程分三步：(1)设出一般方程；(2)根据题意，列出关于d，e，f的方程组；(3)解出d，e，f代入一般方程3求动点的轨迹方程(或轨迹)已知动点m到点a(2,0)的距离是它到点b(8,0)的距离的一半(1)求动点m的轨迹方程；(2)若n为线段am的中点，试求点n的轨迹思路分析：(1)已知动点m到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点m的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程(2)n点随m点运动而运动，设出点n的坐标，将m点坐标用a，n两点坐标表示，再将m点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得n的轨迹方程，从而得点n的轨迹解：(1)设动点m(x，y)为轨迹上任意一点，则点m的轨迹就是集合p.由两点距离公式，点m适合的条件可表示为，平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点m的轨迹方程(2)设动点n的坐标为(x，y)，m的坐标是(x1，y1)由于a(2,0)，且n为线段am的中点，所以x，y，所以有x12x2，y12y，由(1)知，m是圆x2y216上的点，所以点m坐标(x1，y1)满足：xy16，将代入整理，得(x1)2y24.所以n的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆1已知定点a(2,0)，圆x2y21上有一动点q，若aq的中点为p，求动点p的轨迹解：如图，设动点p的坐标为(x，y)，q点的坐标为(x1，y1)，利用中点坐标公式有即因为xy1，所以(2x2)2(2y)21.所以动点p的轨迹方程为(x1)2y2.所以点p的轨迹为以(1,0)为圆心，以为半径的圆2等腰三角形的顶点是a(4,2)，底边的一个端点是b(3，5)，求另一个端点c的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解：设另一端点c的坐标为(x，y)依题意得|ac|ab|.由两点间距离公式，得.整理得(x4)2(y2)210.这是以点a(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图又因为点a，b，c为三角形的三个顶点，所以a，b，c三点不共线，且点b，c不能重合当a，b，c共线时c为(5，1)，c的轨迹方程为(x4)2(y2)210除去(3,5)和(5，1)两点即点c的轨迹是以a(4,2)为圆心、为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点1.求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)相关点法：若动点p(x，y)随着圆上的另一动点q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点p的轨迹方程2轨迹与轨迹方程的异同. 求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的1(2011四川高考，文3)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()a(2,3) b(2,3)c(2，3) d(2，3)解析：将圆化为标准方程为(x2)2(y3)213，故其圆心坐标为(2，3)答案：d2圆x2y22x6y80的周长为()a. b2 c d4解析：方程化为(x1)2(y3)22，r，周长为2r.答案：c3如果方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)所表示的曲线关于yx对称，则必有()ade bdfcef ddef解析：圆心为，要使所表示的曲线关于yx对称，需，de.答案：a4如果方程x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的取值范围是_解析