【志鸿全优设计】高中数学 第一章 1.3.1 单调性与最大(小)第1课时目标导学 新人教A版必修1.doc

数学人教a必修1第一章13.1单调性与最大(小)第1课时1理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特点2知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性3能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题1增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的_两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)_f(x2)f(x1)_f(x2)那么就说函数f(x)在区间d上是增函数区间d称为函数f(x)的单调递增区间那么就说函数f(x)在区间d上是减函数区间d称为函数f(x)的单调递减区间图象特征函数f(x)在区间d上的图象是_的函数f(x)在区间d上的图象是_的图示(1)函数f(x)在区间d上是增函数，x1，x2d，且x1x2 (x1x2)f(x1)f(x2)00.(2)函数f(x)在区间d上是减函数，x1，x2d，且x1x2 (x1x2)f(x1)f(x2)00.【做一做11】 函数yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1x2，则有()af(x1)f(x2) bf(x1)f(x2)cf(x1)f(x2) d以上都有可能【做一做12】 0,3是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)f(2)，则函数f(x)在区间0,3上()a是增函数 b是减函数c不是增函数就是减函数 d增减性不能确定2单调性(1)定义：如果函数yf(x)在区间d上是_或_，那么就说函数yf(x)在区间d上具有(严格的)单调性，区间d叫做函数yf(x)的_(2)图象特征：函数yf(x)在区间d上具有单调性，则函数yf(x)在区间d上的图象是上升的或下降的基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(ykx，k0)与一次函数(ykxb，k0)k0r无k0无r反比例函数(y，k0)k0无(，0)和(0，)k0(，0)和(0，)无二次函数(yax2bxc，a0)a0a0【做一做2】 函数f(x)的图象如图所示，则()a函数f(x)在1,2上是增函数 b函数f(x)在1,2上是减函数c函数f(x)在1,4上是减函数 d函数f(x)在2,4上是增函数答案：1任意上升下降【做一做11】 b【做一做12】 d虽然1,20,3，12，且f(1)f(2)，但是1和2是区间0,3内的两个特殊值，不是区间0,3内的任意值，所以f(x)在0,3上的增减性不能确定2(1)增函数减函数单调区间【做一做2】 a对函数单调性的理解剖析：函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征，它反映了函数图象的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图象是上升还是下降)；函数yf(x)在区间d上是增函数(减函数)，等价于对于d中任意的两个自变量x1，x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)；其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则就会产生错误比如函数f(x)，取x11x21，f(x1)1，f(x2)1，f(x1)f(x2)，如果由此推出f(x)是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个“局部”的性质，并且在考察函数的单调性时，必须先看函数的定义域如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体)例如f(x)的单调减区间可以写成(，0)，(0，)(或者写成(，0)和(0，)，但不能写成(，0)(0，)由于函数的单调性是反映函数图象变化趋势的，所以在某一点处没法讨论函数的单调性，比如函数yx2的单调增区间可以写成开区间(0，)，也可以写成0，)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格地按照定义进行，步骤如下：(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2，且x1x2；(2)变形：主要是配方、分解因式、通分等；(3)定号：判断f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：由定义给出结论题型一 证明函数的单调性【例1】 求证：函数f(x)x在(0,1)上为减函数分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1x2，只需证明f(x1)f(x2)即可反思：证明函数单调性的常用方法是定义法，利用定义法判断函数单调性的步骤为：题型二 利用图象确定函数的单调区间【例2】 已知函数f(x)x22|x|3，(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)根据图象写出f(x)的单调区间分析：(1)对x的正负分类讨论即可；(2)利用画分段函数图象的步骤画出；(3)借助函数图象写出单调区间反思：(1)对于初等函数ykxb，yax2bxc，常借助于函数图象去探求函数的单调区间(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)题型三 函数单调性的应用【例3】 已知函数f(x)的定义域为2,2，且f(x)在区间2,2上是增函数，f(1m)f(m)，求实数m的取值范围分析：利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去符号f，转化为关于m的一元一次不等式组，解出m的范围反思：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在解决比较函数值大小的问题时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上(2)若f(x)在区间d上是增函数，x1，x2是区间d内的任意两个实数，则f(x1)f(x2) x1x2；f(x1)f(x2) x1x2.若f(x)在区间d上是减函数，x1，x2是区间d内的任意两个实数，则f(x1)f(x2) x1x2；f(x1)f(x2) x1x2.题型四 易混易错题易错点对“单调区间是”和“在区间上单调”理解错误【例4】 函数f(x)x22(a1)x2，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(，4，则实数a的值(或范围)是_(2)若函数f(x)在区间(，4上单调递减，则实数a的值(或范围)是_答案：【例1】 证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x210，x1x20.则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在(0,1)上是减函数【例2】 解：(1)当x0时，f(x)x22x3(x1)24；当x0时，f(x)x22x3(x1)24.即f(x) (2)函数图象如图所示 (3)函数f(x)的图象在(，1和0,1上是上升的，在(1,0)和(1，)上是下降的，所以f(x)的单调递增区间是(，1，0,1，单调递减区间是(1,0)，(1，)【例3】 解：因为f(x)在区间2,2上单调递增，且f(1m)f(m)，所以解得m2.故实数m的取值范围是.【例4】 错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，由于函数f(x)的单调递减区间是(，4，因此1a4，即a3.故应填(，3(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，由于函数f(x)在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3.故应填3.错因分析：函数的单调递减区间是i，指的是函数递减的最大范围为区间i.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(，4，且函数f(x)图象的对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.故应填3.(2)因为函数f(x)在区间(，4上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x1a，所以1a4，即a3.故应填(，31已知函数f(x)2x2mx3，当x(2，)时是增函数，当x(，2)时是减函数，则f(1)等于()a3 b13 c7 d12已知函数f(x)是区间(0，)上的减函数，那么f(a2a1)与的大小关系为()af(a2a1) bf(a2a1)cf(a2a1) d不确定3函数f(x)|x3|的单调递增区间是_，单调递减区间是_4求证：函数f(x)2x2在0，)上是增函数5已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围答案：1 b由题意知，函数的对称轴为x2，2，m8.f(1)21281313.2 ba2a1，且函数f(x)是区间(0，)上的减函数，f(a2a1).3. 3，)(，3f(x)其图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是3，)，单调递减区间是