高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1.2 导数在函数单调性中的应用课件 北师大版选修11.ppt

4 1 1 2导数在函数单调性中的应用 1 会利用导数来结合函数单调性求有关参数 2 会利用导数来证明不等式成立 1 导函数的正负决定原函数的增减 2 有关函数中恒成立问题 应注意两个转化 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 做一做1 函数f x x3 ax 1既有递增区间 又有递减区间 则a的取值范围是 解析 f x 3x2 a 由条件知f x 0有两个不等实根 a 0 答案 0 做一做2 若函数f x ax3 x在r上为减函数 则a的取值范围为 解析 f x 3ax2 1 且f x 在r上为减函数 当a 0时 f x 1 0恒成立 a的取值范围是 0 答案 0 题型一 题型二 利用单调区间求参数 例1 已知函数 x 0 1 若f x 在 0 1 上是增加的 求a的取值范围 分析 先求导 再利用函数的单调性与其导函数的正负关系求解 题型三 题型一 题型二 题型三 反思本题是知道了函数的单调性 求参数的范围的题目 这是一种非常重要的题型 在某区间上 若f x 0 或f x 0 则f x 在这个区间上递增 或递减 但由f x 在这个区间上递增 或递减 即可得到f x 0 或f x 0 题型一 题型二 题型三 变式训练1 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求出这三个单调区间 分析 当给定函数含有字母参数时 常常需要分类讨论 不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同 应注意分类原则和讨论的准确性 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 利用导数判断函数图像 例2 如图 在半径为h的半圆形中 阴影部分的面积s是h的函数 0 h h 则该函数的图像是 题型一 题型二 题型三 解析 由题图可知h 0时 s最大 随着h的增大 阴影面积s逐渐减小 但减小的速度越来越慢 故s h 0 且图像向下凸出 符合这种情况的是图像c 答案 c反思观察函数图像的方法是 1 分析f x 随x的增大是增大还是减小 2 分析增加或减小的速度是越来越快 还是越来越慢 3 分析特殊值对应的特殊点 如起点 中点 终点的情况 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知导函数f x 的下列信息 1 当10 2 当x 4或x0 可知f x 在此区间上是增加的 曲线应呈 上升 趋势 2 当x 4或x 1时 f x 0 可知f x 在此区间上是减少的 曲线应呈 下降 趋势 3 当x 1或x 4时 f x 0 这两点比较特殊 我们不妨称它们为 拐点 题型一 题型二 题型三 则函数f x 的大致图像如图 题型一 题型二 题型三 利用导数证明不等式 例3 已知x 1 求证 x lnx 证明 设f x x lnx x 0 因为当x 1时 f x 0 所以f x 在 1 上是增加的 又因为f x 在 1 上是连续的 所以f x x lnx f 1 1 0 0 所以当x 1时 x lnx 反思首先构造函数 然后求导函数 利用函数的单调性证明不等式 这是证明不等式的常用方法 也是作差法的一个延伸 题型一 题型二 题型三 变式训练3 求证 当x 2时 x3 6x2 12x 8恒成立 证明 设f x x3 6x2 12x 8 则f x 3x2 12x 12 3 x2 4x 4 3 x 2 2 x 2时 f x 0恒成立 f x 在 2 上是增加的 x 2时 f x f 2 0 即x3 6x2 12x 8 0 即x3 6x2 12x 8 故当x 2时 x3 6x2 12x 8恒成立 1 2 3 4 5 6 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图像如图 则导函数y f x 的图像可能为 1 2 3 4 5 6 解析 由已知f x 在 0 上递增 在 0 上 f x 先增后减再增 所以f x 在 0 上的函数值为正 f x 在 0 上的函数值先正后负再正 故d选项正确 答案 d 1 2 3 4 5 6 答案 a 1 2 3 4 5 6 4 如果函数f x x3 bx b为常数 在区间 0 1 上是增加的 那么b的取值范围是 解析 f x 3x2 b 0 0 x 1 恒成立