浅谈中学数学建模的教与学.doc

浅谈中学数学建模的教与学关键词： 数学建模； 数学模型；数学应用能力摘要：如何提高中学数学教学质量，提高学生的数学应用能力，提升学生的数学素养，开展更多的数学建模课程是很好的一个方法。但由于各种因素的影响，纯粹的数学建模课程单独开设的较少。因此，在现有的条件下，如何将数学建模的案例切入到平时的课程教学中就成了必要。本文只对高中数学课程中，可以在课堂教学中切入的数学模型做些总结。近些年来，中学生数学应用能力的培养作为宿州市教育改革的重要内容，在市教委领导的大力鼓励下，已经渐渐的深入开展，成绩是有的，但由于高考压力等因素的影响，开展数学应用能力教学时间有限，取得的具体成效不是太大。本人在高中数学教学工作中，发现单纯的给学生讲解书本的知识、解决课本中的题目，学生很难感兴趣。分析其主要原因是学生认为学数学与实际结合太少，用处不大，而且又比较难学。于是就想把中学数学建模引入平时的课程教学，在讲解数学知识点时尽量的引入相应的具体应用。例如，在讲解数列时，引入相应的金融投资、资源利用等方面的数学模型；解析几何中的线性规划问题；生活中的抛物线问题及概率统计知识实际应用中的数学模型等等。一方面有利于提高学生学习数学的兴趣，另一方面有利于提高学生的实践能力。对我们教师来讲，也可以更好的开展数学应用能力的教学，提升自己的教学业务水平。中学数学应用能力的培养是一项复杂的系统工程。教师只有通过“问题解决”的方式组织实施“数学建模”的教学，才能更好的完成这项艰巨的系统工程。为此，我们必须对“数学建模”的意义有更深刻的认识，对“数学建模”的教学要有精心的设计，对“数学建模”的教学组织形式更要灵活多样。本文主要探讨一下应用和建模同正常数学教学的结合与“切入”的问题。教师在平时的数学教学中，可以引入一些较小的数学应用或数学建模的问题，把问题解决的过程分解一下，在教学的局部环节中进行深入讲解。比如在新知识的引入，复习课时，利用一点时间穿插的介绍一个数学应用或数学建模的问题，让学生在课堂上通过讨论仅仅完成“问题数学化”的过程，最好能建立相应的方程或不等式，而把问题的具体求解过程留给学生放到课堂之外完成。放长假期间，可以给学生一两个较大或较难的问题，以科技小论文的形式作为假期作业。这种与中学数学结合的较大或较难实际问题很多也很好搜集，就不在举例，现对数学应用在平时教学中的切入做一些介绍，举些例子供大家参考：1、 不等式模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如人口控制、生产规划、投资决策、资源保护、水土流失、交通运输等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解，一般都是建立相应的初等模型，其中解不等式组的问题常常就是线性规划的问题。例1 某种消费品每件60元，不加附加税时，每年大约销售80万件，若政府征收附加税时，每销售100元要征收元，则每年的销售量将减少万件，要使每年在此项经营中，所收取的税金不少于128万元，问应该怎样确定？解：设销售量为每年万件，则每年的销售收入为60万元，从中可征得税金为，由于已知：，于是由128得： ， ，得：答：税率必在4到8之间。2、函数模型在现实生活中普遍存在着最优化问题最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。数学模型就是把实际应用问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。例2 用水清洗一堆衣服上残留的洗衣粉，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留的洗衣粉量的，用水越多洗掉的洗衣粉量也越多，但总还有洗衣粉残留在衣服上。设用单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的洗衣粉量与本次清洗前残留的洗衣粉量之比为函数. （1）试规定的值，并解释其实际意义。（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质。（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后衣服上残留的洗衣粉量比较少？说明理由。分析：（1）用0单位量的水清洗，衣服上残留的洗衣粉量与清洗前残留洗衣粉量相等，所以.（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：；在上单调递减；且.（3）设用单位量水清洗一次后，衣服上残留的洗衣粉量为（清洗前残留洗衣粉量为），则.用单位水量清洗一次后，衣服上残留的洗衣粉量为，则，再用单位水清洗一次后，衣服上残留的洗衣粉量为，则，.当时，；当时，；当时，.故当超过个单位水量时，分两次清洗好一些，故当不超过个单位水量时，清洗一次效果好一些。例3 如果商店每年销售某种机器零件48000件，为了保证供应，要有计划的进货，若销售是均匀的，每批进货量相同，已知每个零件每月储存费用是0.02元，每批进货的手续费是160元。求全年总费用与每批进货量之间的函数关系，并求每批进货为多少时，全年总费用最小。解：设每批进货量为件，则全年进货批数为，进货手续费为。因为销售是均匀的，即平均库存量是进货量的一半，故全年库存费为。全年的总费用为：，由平均不等式，于是有，等号成立当且仅当=，得：.答：，当每批进货8000件时，总费用的最小值为=1920元。3、数列模型在现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题；人口增长、生态平衡、环境保护，物理学上的衰变、裂变等问题，常通过建立相应的数列模型求解。例4 机器一台原值5000元，残值500元，清理费用100元，耐用10年，试计算每年的等比折价额。解：设折旧率为，则第10年末的净值应为残值减去清理费用，为400元，即，由此可得：，以固定资产的每年初的净值乘以固定的折旧率，作为当年的折旧额，则第年末的净值为，该年的相应折旧额为。由此可以解得每年折旧额表1，故每年折旧额（单位：元）依次为，。表1年份固定资产年初净值折旧费1239101150005000-1116=38843884-866.91=3017.09853.37-190.47=662.90662.90-147.96=514.94514.94-114.94=4005000q =11163884 q =866.913017 q =673.41662.90 q =147.96514.94 q =114.94折旧总额4600数列在金融投资方面的应用是很广泛的，用数列知识还可以建立许多金融投资模型，如单利模型、复利模型，年金终值模型、分期付款模型等等。本文对这些切入的数学模型只做简单举例，在高中的数学知识中，可以建立数学模型的还有很多，教师可以根据自己所教的内容，并结合自己的知识领域，收集、设计一些数学应用和数学建模方面的问题用于课堂教学。数学建模对老师、学生都是一个陌生的课题，因此需要一个逐步学习和适应的过程。在教学的过程中，尤其是在设计数学建模的活动中，教师应首先考虑到学生的应用实践能力和水平及所具备的知识储备。一般情况下，起点可以低点，形式最好有利于更多的学生参与，不应刻意追求建模过程的步骤和完美性。从做应用题起步，把问题条件和结论的选择、设定的权利交给学生。因此，我们教师可以选择日常生活中同学们熟悉的背景材料，进行一些简单的应用。我们开展数学建模活动，目的是在不加重学生的学业负担的情况下，提升学生学习数学的兴趣，进而全面提高学生的学习实践能力。因此在开展数学建模过程中不能把它与基础知识的传授分开，也就是说应把数学建模融入正常的教学过程之中。为了完成这项系统工程，一方面，我们要结合教材内容在课堂上向学生介绍各种数学知识的产生和发展背景，另一方面，要让学生了解数学知识的应用功能，有了这两个方面做基础，我们要做好的就是寻找数学建模在这些数学教学中的切入点。综上所述，我们中学数学教师在数学教学中应注重构建学生的数学建模意识，要真正培养学生的应用能力，仅仅传授知识是远远不够的。我们一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生在自觉的学习过程中构建数学建模意识。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”，必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也将为培养更多更好的“创造型”人才提