山东省潍坊市高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1复数为纯虚数，则实数a=（）a2bc2d2设集合m=x|x3|2，n=x|y=，则mn=（）adcd（0，）6二项式（2x2）5的展开式中x的系数为（）a20b20c40d407运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）abcd8向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）abcd9某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗a原料3千克，b原料1千克；生产乙产品1桶需耗a原料1千克，b原料3千克每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗a、b原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）a1600b2100c2800d480010设函数f（x）的定义域为d，若任取x1d，存在唯一的x2d，满足=c，则称c为函数y=f（x）在d上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）abcd二、填空题：每小题5分，共25分11若向量、的夹角为150，|=，|=4，则|2+|=12已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为13在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a2b2=bc，sinc=2sinb，则角a为14已知f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，p为双曲线右支上的一点，且|pf1|=2|pf2|若pf1f2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为15若方程x4+ax4=0的各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是三、解答题：共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=2sinxcosxsin2x+cos2x+，xr（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（）=，（，），求cos（）的值17如图，四边形acdf为正方形，平面acdf平面bcde，bc=2de=2cd=4，debc，cde=90，m为ab的中点（1）证明：em平面acdf；（2）求二面角abec的余弦值18某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标70，75）75，80）80，85）85，90）90，95）95，100）甲3720302515乙51523272010根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为x元（利润=盈利亏损）求随机变量x的频率分布和数学期望19各项均为正数的数列an的前n项和为sn，已知点（an，an+1）（nn*）在函数y=3x的图象上，且s3=26（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列|的前n项和tn，并求使tn+成立的最大正整数n20已知焦点在y轴上的椭圆c1：+=1（ab0）经过点q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1（1）求椭圆c1的方程；（2）过抛物线c2：y=x2+h（hr）上一点p的切线与椭圆c1交于不同两点m，n点a为椭圆c1的右顶点，记线段mn与pa的中点分别为g，h点，当直线ch与x轴垂直时，求h的最小值21设函数f（x）=lnx，g（x）=（2a）（x1）2f（x）（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段ab中点为c（x0，y0），直线ab的斜率为k证明：kf（x0）（3）设f（x）=|f（x）|+（b0），对任意x1，x2（0，2，x1x2，都有1，求实数b的取值范围2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1复数为纯虚数，则实数a=（）a2bc2d考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出解答： 解：复数=为纯虚数，2a1=0，2+a0，解得a=故选：d点评： 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题2设集合m=x|x3|2，n=x|y=，则mn=（）ad4定义在r上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）ay=x2+1by=|x|+1cy=dy=考点： 奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合专题： 常规题型；压轴题分析： 首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（2，0）为减函数然后分别分析选项中4个函数的单调性最后判断答案即可解答： 解：利用偶函数的对称性知f（x）在（2，0）上为减函数又y=x2+1在（2，0）上为减函数；y=|x|+1在（2，0）上为减函数；y=在（2，0）上为增函数y=在（2，0）上为减函数故选c点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性属于中档题5若过点p（2，2）的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）a（0，）bcd（0，）考点： 直线与圆的位置关系；直线的倾斜角专题： 计算题；直线与圆分析： 用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得2，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围解答： 解：由题意可得点p（2，2）在圆x2+y2=4的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+2=k（x+2），即kxy+2k2=0根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得2，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：b点评： 本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题6二项式（2x2）5的展开式中x的系数为（）a20b20c40d40考点： 二项式系数的性质专题： 计算题；二项式定理分析： 利用二项式（2x2）5展开式的通项公式即可求得答案解答： 解：设二项式（2x2）5展开式的通项为tr+1，则tr+1=25rx2（5r）（x）r=25r（1）rx103r，令103r=1得r=3，二项式（2x2）5展开式中x的系数为22（1）3=40故选：c点评： 本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题7运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）abcd考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算a=+的值，i=4029时，计算a的值，输出a，程序结束解答： 解：执行程序框图，有n=2015a=0，i=1，a=，不满足条件i2n1，i=3，a=，不满足条件i2n1，i=5，a=+，不满足条件i2n1，i=4029，a=+，满足条件i2n1，退出循环，输出a的值为+a=+=（）=故选：d点评： 本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出每次循环的a的值，裂项法求和是解题的关键，属于基础题8向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）abcd考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 利用定积分公式，求出阴影部分的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案解答： 解：阴影部分的面积s=2+=1+2ln2，边长为2的正方形的面积为：4，故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率p=，故选：a点评： 本题考查的知识点是几何概型，其中利用定积分公式，求出阴影部分的面积，是解答的关键，难度中档9某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗a原料3千克，b原料1千克；生产乙产品1桶需耗a原料1千克，b原料3千克每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗a、b原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）a1600b2100c2800d4800考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 先设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=400x+300y，利用线性规划的知识进行求解即可解答： 解：设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，则，目标函数为：z=400x+300y作出可行域：把直线l：z=400x+300y向右上方平移，直线经过可行域上的点a，且与原点距离最大，此时z=400x+300y取最大值，解方程，解得得a的坐标为（3，3）此时z=4003+3003=2100元故选：b点评： 本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题10设函数f（x）的定义域为d，若任取x1d，存在唯一的x2d，满足=c，则称c为函数y=f（x）在d上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）abcd考点： 函数的值；函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 根据定义分别验证对于任意的x1d，存在唯一的x2d，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可解答： 解：首先分析题目求对于任意的x1d，存在唯一的x2d，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数y=x，f（x1）+f（x2）=4得 x1+x2=4，解得x2=4x1，满足唯一性，故成立y=x2，由 f（x1）+f（x2）=4得 x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是r上的周期函数，存在无穷个的x2d，使成立故不满足条件y=lgx，定义域为x0，值域为r且单调，显然必存在唯一的x2d，使成立故成立y=2x定义域为r，值域为y0对于x1=3，f（x1）=8要使成立，则f（x2）=4，不成立故选：b点评： 本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力综合性较强二、填空题：每小题5分，共25分11若向量、的夹角为150，|=，|=4，则|2+|=2考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题： 计算题分析： 本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量、的夹角为150，|=，|=4，我们易得的值，故要求|2+|我们，可以利用平方法解决解答： 解：|2+|=2故答案为：2点评： 求常用的方法有：若已知，则=；若已知表示的有向线段的两端点a、b坐标，则=|ab|=构造关于的方程，解方程求12已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为9考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，故底面的外接圆直径为，故底面的外接圆半径r=，球心距d=1，故球的半径r=，故该几何体的外接球的表面积s=4r2=9，故答案为：9点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状13在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a2b2=bc，sinc=2sinb，则角a为考点： 余弦定理；正弦定理专题： 计算题；解三角形分析： 利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可解答： 解：由sinc=2sinb，由正弦定理可知：c=2b，代入a2b2=bc，可得a2=3b2，所以cosa=，0a，a=故答案为：点评： 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查14已知f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，p为双曲线右支上的一点，且|pf1|=2|pf2|若pf1f2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为2考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到，注意离心率的范围解答： 解：p为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|pf1|pf2|=2a，由|pf1|=2|pf2|，则|pf1|=4a，|pf2|=2a，由pf1f2为等腰三角形，则|pf1|=|f1f2|或|f1f2|=|pf2|，即有4a=2c或2c=2a，即有e=2（1舍去）故答案为：2点评： 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题15若方程x4+ax4=0的各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（，6）（6，+）考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 综合题分析： 原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a0与a0讨论，可得答案解答： 解：方程的根显然x0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（2，2），（2，2）；所以结合图象可得或，解得a6或a6故答案为：a6或a6点评： 本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质三、解答题：共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=2sinxcosxsin2x+cos2x+，xr（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（）=，（，），求cos（）的值考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）利用倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）在上的最值；（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的表达式，利用三角函数的关系式进行求值即可解答： 解：（1）f（x）=2sinxcosxsin2x+cos2x+=sin2x+cos2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）x，2x+，当2x+=，即x=时，f（x）的最小值为2（）=当2x+=，即x=时，f（x）的最大值为21=2（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x），由g（）=2sinx（）=，得sinx（）=，（，），（，），是cos（）=，cos（）=点评： 本题主要考查三角函数的最值的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质17如图，四边形acdf为正方形，平面acdf平面bcde，bc=2de=2cd=4，debc，cde=90，m为ab的中点（1）证明：em平面acdf；（2）求二面角abec的余弦值考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法专题： 综合题；空间向量及应用分析： （1）取ac的中点p，连结pm、pd，通过中位线定理可得四边形demp为平行四边形，进而有medp，利用线面平行的判定定理即得结论；（2）以c为坐标原点，ca、cb、cd所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面abe的法向量与平面bce的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可解答： （1）证明：如图，取ac的中点p，连结pm、pd，在abc中，p为ac的中点，m为ab的中点，pmbc，且pm=bc，又debc，de=bc，pmde且pm=de，故四边形demp为平行四边形，medp，又dp平面acdf，em平面acdf，em平面acdf；（2）解：平面acdf平面bcde，平面acdf平面bcde=cd，acdc，ac平面bcde，acbc，又cde=90，debc，bccd，以c为坐标原点，ca、cb、cd所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则c（0，0，0），a（2，0，0），b（0，4，0），d（0，0，2），e（0，2，2），则=（2，4，0），=（2，2，2），设平面abe的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（2，1，1），又ac平面bcde，=（2，0，0）为平面bce的一个法向量，cos，=二面角abec的余弦值为点评： 本题考查空间中线面平行的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题18某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标70，75）75，80）80，85）85，90）90，95）95，100）甲3720302515乙51523272010根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为x元（利润=盈利亏损）求随机变量x的频率分布和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （1）高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，由此能求出高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率（）随机变量x的所有可能取值为200，160，120，80，40，40，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量x的频率分布和数学期望解答： 解：（1）甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率：p=（）3+（）随机变量x的所有可能取值为200，160，120，80，40，40，p（x=200）=，p（x=160）=，p（x=120）=，p（x=80）=，p（x=40）=，p（x=40）=，x的分布列为： x 200 160 120 80 40 40 p ex=+=124（元）点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一19各项均为正数的数列an的前n项和为sn，已知点（an，an+1）（nn*）在函数y=3x的图象上，且s3=26（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列|的前n项和tn，并求使tn+成立的最大正整数n考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）先利点（an，an+1）（nn*）在函数y=3x的图象上，且s3=26，求出q=3，a1=2，即可求数列an的通项；（2）先把所求结论代入求出数列tn的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可解答： 解：（1）点（an，an+1）（nn*）在函数y=3x的图象上，an+1=3an，公比q=3，s3=26，a1+3a1+9a1=26，解得a1=2，数列an的通项公式an=23n1（2）由（1）知an=23n1，an+1=23n，在an于an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，an+1=an+（n+1）dn，dn=，=，tn=+，tn+1=+，整理得tn=tn+，即3n127，解得n4，使得tn+成立的正整数n的最大值是4点评： 本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题20已知焦点在y轴上的椭圆c1：+=1（ab0）经过点q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1（1）求椭圆c1的方程；（2）过抛物线c2：y=x2+h（hr）上一点p的切线与椭圆c1交于不同两点m，n点a为椭圆c1的右顶点，记线段mn与pa的中点分别为g，h点，当直线ch与x轴垂直时，求h的最小值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）通过将点q（，1）、y=c代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过设p（t，t2+h），则直线mn的方程为：y=2txt2+h，代入椭圆方程，利用中点坐标公式及韦达定理计算即得结论解答： 解：（1）椭圆过点q（，1），将y=c代入椭圆方程得：x=，=1，解得：a=2，b=1，椭圆c1的方程为：；（2）设p（t，t2+h），由y=2x可知切线斜率k=2t，直线mn的方程为：y=2txt2+h，将其代入椭圆方程得：4x2+（2txt2+h）24=0，化简得：4（1+t2）x24t（t2h）x+（t2h）24=0，直线mn与椭圆交于不同的两点，0，即=160 （*）设m（x1，y1），n（x2，y2），线段mn中点横坐标为x0，由韦达定理可知：x1+x2=，x0=，设线段pa中点的横坐标为x3，则x3=，由已知有x0=x3，即=，显然t0，h=（t+1），当t0时，t+2，当且仅当t=1时取等号，此时h3，不符合（*）式，舍去；当t0时，（t）+2，当且仅当t=1时取等号，此时h1，符合（*）式