【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题4 导数的几何意义、函数的单调性和极值》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题4导数的几何意义、函数的单调性和极值1(2011山东)曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()a9 b3 c9 d15答案 c由已知得切线的斜率ky|x13，切线方程为y123(x1)，即3xy90.令x0，得y9，切线与y轴交点的纵坐标为9.2(2012辽宁)函数yx2ln x的单调递减区间为()a(1,1 b(0,1 c1，) d(0，)答案 b由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0x1，所以函数的单调递减区间为(0,13(2012陕西)设函数f(x)ln x，则()ax为f(x)的极大值点 bx为f(x)的极小值点cx2为f(x)的极大值点 dx2为f(x)的极小值点答案 df(x)ln x(x0)，f(x).由f(x)0解得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(2，)时，f(x)0，f(x)为增函数x2为f(x)的极小值点4(2012大纲全国)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()a2或2 b9或3 c1或1 d3或1答案 ay3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)yyc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.1利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义2考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式3用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nr)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)导数的四则运算法则u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)函数的单调性与导数(1)设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是单调递增函数；若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是单调递减函数(2)若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数函数的极值与导数设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都f(x0)f(x)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果对x0附近的所有点x，都有f(x0)f(x)，就说f(x0)是函数的一个极小值函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最值必备方法1可导函数的单调性(1)求函数f(x)的单调区间确定函数的定义域；求f(x)；若求减区间，则解f(x)0；若求增区间，则解f(x)0.(2)证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性求f(x)；确认f(x)在(a，b)内的符号；推出结论f(x)0为增函数，f(x)0为减函数(3)已知函数的单调性，求参数的取值范围，转化为一般不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题2函数的极值与最值根据最值定理，求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)的函数值，就是最大(小)值对于开区间(a，b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值时，除求出函数的极大值、极小值外，还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图象，再判定函数的最大(小)值，否则会出现错误但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点3利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论常考查：根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数【例1】 (2011新课标全国)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值审题视点 求f(x)，由可求听课记录解f(x)，由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得a1，b1. 解决函数切线的相关问题，需抓住两个关键点：其一，切点是交点其二，在切点处的导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上；在点p处的切线，点p是切点【突破训练1】 直线y2xb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.解析y，令2得，x，故切点为，代入直线方程，得ln 2b，所以bln 21.答案ln 21常考查：利用导数研究函数的单调性问题；由函数的单调性求参数的范围【例2】 (1)已知导函数f(x)的下列信息：当1x4时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数yf(x)图象的大致形状(2)确定函数f(x)2x36x27在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数(3)已知函数f(x)4xax2x3(xr)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围审题视点 题(1)已知函数的导数的符号，可先判断函数的单调性，进而画出草图；题(2)要求函数的单调区间，可先求函数的导函数，再令导函数大于0(或小于0)解得函数的单调区间；题(3)是已知单调区间反求字母a的范围，可先求导函数，再令导函数在已知的单调区间上恒非负(或非正)听课记录解(1)当1x4时，f(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；当x4，或x1时，f(x)0，可知这两点处的切线是水平的综上，函数yf(x)图象的大致形状如图所示(2)f(x)6x212x.令6x212x0，解得x0或x2.因此，当x(，0)时，函数f(x)是增函数，当x(2，)时，f(x)也是增函数令6x212x0，解得0x2.因此，当x(0,2)时，f(x)是减函数(3)f(x)42ax2x2，且f(x)在1,1的任意子区间内均不恒为0，又因f(x)在区间1,1上是增函数，所以f(x)0对x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1，所以实数a的取值范围为1,1 题(2)利用了函数单调的充分条件：“若f(x)0，则f(x)单调递增；若f(x)0，则f(x)单调递减”题(3)利用了函数单调的必要条件：“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”注意必要条件中的等号不能省略，否则漏解【突破训练2】 (2012新课标全国)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增；若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于kx(x0)(*)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于(*)式等价于kg()，故整数k的最大值为2.常考查：直接求极值或最值；利用极(最)值求参数的值或范围常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题【例3】 已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值审题视点 (1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的值(2)分类讨论听课记录解(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；令f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值 (1)求单调递增区间，转化为求不等式f(x)0(不恒为0)的解集即可已知f(x)在m上递增f(x)0在m上恒成立，注意区别(2)研究函数的单调性后可画出示意图讨论区间与0,2的位置关系，画图截取观察即可【突破训练3】 (2012北京)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解(1)f(x)ax21，f(x)2ax，f(1)2a.又f(1)ca1，f(x)在点(1，c)处的切线方程为yc2a(x1)，即y2axa10.g(x)x3bx，g(x)3x2b，g(1)3b.又g(1)1bc，g(x)在点(1，c)处的切线方程为y(1b)(3b)(x1)，即y(3b)x20.依题意知3b2a，且a12，即a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，3错把“充分不必要条件”当作“充要条件”给定区间(a，b)，若f(x)0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f(x)0，则f(x)在(a，b)上为减函数反之不然这也就是说f(x)0(f(x)0)是f(x)在(a，b)上为增函数(减函数)的充分不必要条件，而不是充要条件【示例】 (2012济南实验中学模拟)已知函数f(x)ax33x2x1在r上是减函数，求a的取值范围满分解答f(x)3ax26x1，(4分)f(x)3ax26x10在xr上恒成立(8分)解得a3.故a的取值范围为(，3(12分)老师叮咛：当f(x)0时，f(x)是减函数.但反之并不尽然，如f(x)x3是减函数，f(x)3x2并不恒小于0，(x0时，f(x)0).因此本题应该有f(x)在r上恒小于或等于0.【试一试】 (2012广东中山调研)设函数f(x)px2ln x若函数g(x)f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围解(1)因为g(x)px2ln x，g(x)p.由函数g(x)f(x)在