【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.1.1 集合的含义与表示讲解与例题 新人教A版必修1.docVIP

1.1.1集合的含义与表示1集合的含义(1)元素与集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母a，b，c，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素示例：小于5的自然数组成集合，可以记为b，它的元素是0,1,2,3,4；方程x2x0的实数解组成集合，可以记为a，它的元素是0,1谈重点 对集合的理解(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的(2)注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象(3)集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象(2)集合中元素的特征元素的特征理解确定性给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性互异性一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性无序性集合中的元素是没有顺序的也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性释疑点 判断一组对象能否构成一个集合的方法判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合【例11】下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)新课标人教a版数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a，b，a，c解析：序号能否构成集合理由(1)能其中的元素满足三条边相等(2)不能“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合(3)不能“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合(4)能其中的元素是“16岁以下的学生”(5)能其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”(6)不能因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合(7)不能因为有两个a是重复的，不符合元素的互异性答案：(1)(4)(5)点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合(3)元素与集合的关系关系含义记号示例属于a是集合a中的元素，就说a属于集合aaa所有正实数构成的集合记为a，则1a，1a不属于a不是集合a中的元素，就说a不属于集合aaa谈重点 对符号“”与“”的理解(1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合a，在“aa”与“aa”这两种情况中必有一种且只有一种成立(2)符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系(3)“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合【例12】设不等式32x0的解集为m，下列关系中正确的是()a0m,2m b0m,2mc0m,2m d0m,2m解析：本题是判断0和2与集合m间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式32x0的解即可，当x0时，32x30，所以0m；当x2时，32x10，所以2m答案：b(4)相等集合只要构成两个集合的元素是一样的，也就是说它们的元素是完全相同的，我们就称这两个集合是相等的【例13】若方程(x1)2(x1)0的解集为a，方程x210的解集为b，那么a与b是否相等？解：由题意知集合a中的元素为1，1；集合b中的元素为1，1由定义可知ab2常用数集数集含义记号自然数集全体非负整数组成的集合n正整数集所有正整数组成的集合n*或n整数集全体整数组成的集合z有理数集全体有理数组成的集合q实数集全体实数组成的集合r谈重点 对常用数集的理解(1)n包括元素0，而n*(或n)不包括元素0(2)通常情况下，大写英文字母n，n*，z，q，r不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”；虽然正整数集有两种字母表示：n*或n，但是本书中主要用n*表示正整数集【例2】用符号或填空：(1)3_n；3_z；3_n*；3_q；3_r(2)3.1_n；3.1_z；3.1_n*；3.1_q；3.1_r解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断(1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3n；3z；3n*；3q；3r(2)因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1n；3.1z；3.1n*；3.1q；3.1r答案：(1)(2)3集合的表示法(1)自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法使用此方法要注意叙述清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的，不能叙述成“正方形”(2)列举法定义把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法一般形式a1，a2，a3，an示例中国古代四大发明组成的集合，用列举法表示为火药，造纸术，活字印刷术，指南针谈重点 用列举法表示集合应注意的问题(1)当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；(2)元素间用“，”分隔开；(3)元素不能重复，不考虑顺序；(4)集合元素个数较多或无限时(无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号，如正整数集可表示为1,2,3,4，【例31】用列举法表示下列集合：(1)15以内质数的集合；(2)方程x(x21)0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数yx与y2x1的图象的交点组成的集合分析：(1)质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此数自身外，不能被其他自然数整除的数；(2)中要明确方程x(x21)0的实数根有哪些；(3)中要明确一次函数yx与y2x1的图象的交点有哪些，应怎样表示解：(1)2,3,5,7,11,13；(2)解方程x(x21)0，得x11，x20，x31，故方程x(x21)0的所有实数根组成的集合为1,0,1；(3)解方程组得因此一次函数yx与y2x1的图象的交点为(1,1)，故所求的集合为(1,1)(3)描述法含义用集合中元素的共同特征表示集合的方法一般形式x|p(x)(其中x是集合元素的一般符号，p(x)是集合元素的共同特征)具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征谈重点 用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系；(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：直角三角形，正方形等【例32】用描述法表示下列集合：(1)所有的偶数组成的集合；(2)不等式2x40的解集解：(1)偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数组成的集合用描述法表示为x|x2n，nz(2)设不等式2x40的解集记为a，x为集合a中元素的代表符号，其共同特征是2x40，则ax|2x40；解不等式2x40，得x2，则也可以表示为ax|x2【例33】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2x20的解集；(2)大于1且小于7的所有整数组成的集合解：(1)方程x2x20的根可以用x表示，它满足的条件是x2x20，因此，用描述法表示为xr|x2x20；方程x2x20的根是1,2，因此，用列举法表示为1,2(2)大于1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是xz且1x7，因此，用描述法表示为xz|1x7；大于1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为0,1,2,3,4,5,64集合元素的特征的应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一考查一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准)(2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素例如：方程x20的两个根x1x20，用集合记为0，而不能记为0,0【例4】下列说法正确的是()a数学成绩较好的同学可以组成一个集合b所有绝对值接近于零的数组成一个集合c集合1,2,3与集合3,2,1表示同一个集合d1,0.5，组成一个含有5个元素的集合解析：对于a项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于b项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于c项，集合1,2,3与3,2,1元素相同，是相等集合，因此正确；对于d项，1,0.5，组成一个含有3个元素的集合，故不正确答案：c5元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系例如，集合a1,9,12，则0a,9a用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时相对比较复杂此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？其次要清楚元素的共同特征是什么；最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系描述法表示的集合形式为x|xp(x)，其中p(x)为该集合元素的共同特征例如，集合bx|x3n1，nz，则该集合元素的一般符号是x，其共同特征是x3n1，nz，即集合b中的元素是整数，并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合b的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可设3n116，解得n，则16不能等于3的整数倍减去1，所以16b设3n117，解得n6，则17等于3的6倍减去1，所以17b【例51】设集合(1)试判断元素1,2与集合b的关系；(2)用列举法表示集合b分析：判断集合b与元素1,2的关系，只要代入验证即可解：(1)当x1时，2n当x2时，因此1b,2b(2)n，xn，2x只能取2,3,6x只能取0,1,4b0,1,4【例52】若集合aa3,2a1，a24且3a，求实数a的值错解：若a33，则a0；若2a13，则a1；若a243，则a1综上可知，a0或a1错因分析：由于3a，故应分a33,2a13，a243三种情况讨论，这是正确的，但求出a值后，应验证其是否满足集合的互异性，错解在于没有验证，导致出现增解正解：(1)若a33，则a0，此时a3，1，4，满足题意；(2)若2a13，则a1，此时a4，3，3，不满足题意；(3)若a243，则a1，当a1时，a2,1，3，满足题意，当a1时，由(2)知，不满足题意综上可知，a0或a16集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，既要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来如方程x21组成的集合是1,1，而该集合可描述为x21的解集，或绝对值为1的数等(2)使用描述法时，需注意以下几点：写清楚该集合中的代表元素例如，集合xr|x1不能写成x1集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关例如，集合xr|x1也可以写成yr|y1所有描述的内容都要写在集合符号内例如，xz|x2k，kz，这种表述方式不符合要求，需将kz也写进大括号内，即xz|x2k，kz在不致引起混淆的情况下，所有的非负数组成的集合可记为x|x0当集合是数集时，在没有标明x范围的前提下，我们认为x的值是使式子有意义的所有值如，此时我们认为xr且x0由反比例函数的性质，可知该集合可化为y|yr，且y0当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为x|x是四边形在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成四边形“所有四边形组成的集合”不能写成所有四边形，因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”“全部”等意义的词(3)对某一个具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的，如x|x是自然数中三个最小的完全平方数，还可以表示为0,1,4方法的选择要因题而异集合的三种表示法的比较如下表：集合的表示法特点适用范围自然语言法自然、生动、明确都可用，无限制列举法直观、明了元素个数较少时描述法清晰反映集合中元素的特征元素个数无限或不宜一一列举时【例61】用适当的方法表示下列对象构成的集合(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组的解解：(1)由于|x|2且xz，所以x值为2，1,0,1,2故绝对值不大于2的所有整数组成的集合为2，1,0,1,2另外本题用描述法可表示为xz|x|2(2)解方程组得因此用列举法表示方程组的解集为(0,1)【例62】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界)的点的集合分析：由于是坐标平面内的点集，所以代表元素可以用有序实数对(x，y)，x，y的范围可结合图形写出解：(1)设阴影部分的所有点构成集合a，则集合a中的元素是点，设为(x，y)由图形知1x1，1y1，所以a(x，y)|1x1，1y1(2)设阴影部分的所有点构成集合b，则集合b中的元素是点，设为(x，y)由图形知：1x1，yr，所以b(x，y)|1x1，yr【例63】下面三个集合：x|yx21；y|yx21；(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析：对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件解：(1)它们是互不相同的集合(2)集合x|yx21的代表元素是x，满足条件yx21中的xr，x|yx21r；集合y|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1，y|yx21y|y1；集合(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，可以认为是满足yx21的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足yx21，(x，y)|yx21p|p是抛物线yx21上的点点技巧 对用描述法表示的集合的理解用描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件数集和点集常常会混淆7集合相等的应用两个集合相等，是指构成这两个集合的元素完全相同也就是说，若两个集合相等，则这两个集合中的元素个数相同，并且对于其中一个集合中的任一元素，在另一个集合中都能找到这个元素例如：若集合a1,3，集合bx|x2axb0，且ab，求实数a，b解：因为ab，所以方程x2axb0的解集是1,3，那么1,3是方程x2axb0的根，则解得_【例7】若含有三个实数的集合可表示为，也可表示为a2，ab,0，求a2 012b2 013的值分析：由题意知，集合与集合a2，ab,0相等，由集合相等的定义，列出关于a，b的方程组，解出a，b，进而求a2 012b2 013的值解：由已知集合可表示为，得a1且a0由题意得或解得或经检验知不满足集合中元素的互异性，应舍去因此故a2 012b2 0131点技巧 由集合相等求参数的技巧应从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，则需分类讨论，同时要注意利用集合中元素的互异性对求得的结果进行检验8方程、不等式等知识与集合交会问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式的问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的共同特征，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手例如，集合ax|ax10的元素是关于x的不等式ax10的解，当a0时，这个不等式化为10，此时不等式的解集为实数集r，当a0时，这个不等式是关于x的一元一次不等式如果忽视a0，那么就会导致出现错解(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及数学思想(转化思想、分类讨论思想)的综合应用_【例8】已知集合ax|ax23x20(1)若a是单元素集合，求集合a；(2)若a中至少有一个元素，求a的取值范围分析：本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题(1)a是单元素集合，说明方程有唯一根或有两个相等的实数根(2)a中至少有一个元素，说明方程有一根或两根解：(1)当a0时，符合题意；当a0时，方程ax23x20应有两个相等的实数根，则0，即98a0，解得，此时，符合题意综上所述，当a0时，当a0时，(2)由(1)知，当a0时，符合题意；当a0时，方程ax23x20应有实数根，则0，即98a0，解得a综