【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）几何证明选讲第2课时圆的进一步认识教学案（含最新模拟、试题改编）新人教A版选修4－1(1).docVIP

选修41几何证明选讲第2课时圆的进一步认识(对应学生用书(理)182185页)考情分析考点新知掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题.理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题1. 如图，点p在圆o直径ab的延长线上，且pbob2，pc切圆o于c点，cdab于d点，求pc和cd的长解：由切割线定理得pc2pbpa12， pc2，连结oc，则ocop， p30， cdpc.2. 如图，ac为圆o的直径，弦bdac于点p，pc2，pa8，求tanacd的值解：由相交弦定理和垂径定理得bp2pcpa16，bp4. acdabp， tanacdtanabp2.3. 如图，点a，b，c是圆o上的点，且ab4，acb45，求圆o的面积解：(解法1)连结oa、ob，则aob90. ab4，oaob， oa2，则s圆(2)28.(解法2)2r4r2，则s圆(2)28.4. 如图，点b在圆o上， m为直径ac上一点，bm的延长线交圆o于n，bna45，若圆o的半径为2 ，oaom，求mn的长解： bna45， boa90. om2，bo2， bm4. bmmncmma(22)(22)8， mn2.5. 如图，已知p是圆o外一点，pd为圆o的切线，d为切点，割线pef经过圆心o，若pf12，pd4 ，求圆o的半径长和efd的大小解：由切割线定理，得pd2pepfpe4ef8，od4. odpd，odpo， p30，pod60，pdeefd30.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90.反之，90的圆周角所对的弦为直径2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定 切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等(2) 弦切角 弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角 弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半 推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆备课札记题型1探求角的关系例1如图，ab是圆o的直径，弦bd、ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f.求证：deadfa.证明： 连结ad，因为ab为圆的直径，所以adb90.又efab，efa90，所以a、d、e、f四点共圆所以deadfa.(2011南通三模)如图，圆o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为圆o上一点，aeac，求证：pdepoc.证明：因为aeac，ab为直径，故oacocaoae.所以pocoacocaoacoaeeac.又eacpde，所以pdepoc.题型2求线段长度例2如图所示，圆o的两弦ab和cd交于点e，efcb，ef交ad的延长线于点f，fg切圆o于点g.(1) 求证：defefa；(2) 如果fg1，求ef的长(1) 证明：因为efcb，所以bcefed.又badbcd，所以badfed.又efdefd，所以defefa.(2) 解：由(1)得，即ef2fafd.因为fg是切线，所以fg2fdfa，所以effg1.如图，圆o是等腰三角形abc的外接圆，abac，延长bc到点d，使cdac，连结ad交圆o于点e，连结be与ac交于点f.(1) 判断be是否平分abc，并说明理由；(2) 若ae6，be8，求ef的长解：(1) be平分abc. cdac， dcad. abac， abcacb. ebccad， ebcdcad. abcabeebc，acbdcad， abeebc，即be平分abc.(2) 由(1)知cadebcabe. afeabe， aefbea. . ae6，be8， ef.题型3证明线段相等例3如图，在abc中，已知cm是acb的平分线，amc的外接圆交bc于点n.若acab，求证：bn2am.证明： 在abc中，因为cm是acb的角平分线，所以.又已知acab，所以.又ba与bc是圆o过同一点b的割线，所以bmbabnbc，即.由可知，所以bn2am.如图，圆o的直径ab2，c是圆o外一点，ac交圆o于点e，bc交圆o于点d，已知acab，bc4，求ade的周长解： ab是圆o的直径， adbc.又acab， ad是abc的中线又bc4， bddc2， ad4.由cecacdcb，得ce. ae2.由decbc，所以dedc2.则ade的周长为6.题型4证明线段成比例例4如图，在abc中，b90，以ab为直径的圆o交ac于d，过点d作圆o的切线交bc于e，ae交圆o于点f.求证：(1) e是bc的中点；(2) adacaeaf.证明：(1) 连结bd，因为ab为圆o的直径，所以bdac.又b90，所以cb切圆o于点b且ed切圆o于点d，因此ebed，所以ebdedb，cdeedb90ebdc，所以cdec，得edec，因此ebec，即e是bc的中点(2) 连结bf，显然bf是rtabe斜边上的高，可得abeafb，于是有，即ab2aeaf，同理可得ab2adac，所以adacaeaf.如图，pa切圆o于点a，割线pbc交圆o于点b、c，apc的角平分线分别与ab、ac相交于点d、e，求证：(1) adae；(2) ad2dbec.证明：(1) aedepcc，adeapdpab.因为pe是apc的角平分线，所以epcapd.又pa是圆o的切线，故cpab.所以aedade.所以adae.(2) pcepad.paepbd.又pa是切线，pbc是割线pa2pbpc.故.又adae，所以ad2dbec.1. (2013广东)如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bccd，过c作圆o的切线交ad于e.若ab6，ed2，求bc的值解：依题意易知abccde，所以，又bccd，所以bc2abde12，从而bc2.2. (2013重庆)如图，在abc中，c90，a60，ab20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，求de的长解：延长ba交切线cd于m.因为c90，所以ab为直径，所以半径为10.连结oc，则occd，且ocbd.因为oac60，所以aoc60，obe60，即beob10且m30.所以om2oc20，所以am10.所以bd(amab)15，即debdbe15105.3. (2013江苏)如图，ab和bc分别与圆o相切于点d、c，ac经过圆心o，且bc2oc.求证：ac2ad.证明：连结od， ab、bc分别与圆o相切于点d、c， adoacb90. aa， rtadortacb. . bc2oc2od， ac2ad.4. (2013新课标)如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于d.(1) 证明：dbdc；(2) 设圆的半径为1，bc，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径(1) 证明：连结de，交bc与点g.由弦切角定理得，abebce， abecbe， cbebce，bece. dbbe， de是直径，dce90.由勾股定理可得dbdc.(2) 解：由(1)知，cdebde，bddc，故dg是bc的中垂线， bg.设de中点为o，连结bo，则bog60，abebcecbe30， cfbf， rtbcf的外接圆半径等于.1. 如图，圆o与圆o内切于点t，点p为外圆o上任意一点，pm与内圆o切于点m.求证：pmpt为定值证明：设外圆半径为r，内圆半径为r，作两圆的公切线tq.设pt交内圆于c，连结op，oc，则pm2pcpt，所以.由弦切角定理知pot2ptq，cot2ptq，则potcot，所以poco，所以，即，为定值2. 如图， 弦ab与cd相交于o内一点e，过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p.已知pd2da2, 求pe.解： bc/pe bcdped.且在圆中bcdbadpedbad.epdapepe2papd326.所以pe.3. 如图，正三角形abc外接圆的半径为1，点m、n分别是边ab、ac的中点，延长mn与abc的外接圆交于点p，求线段np的长解：设正三角形abc的边长为x，由正弦定理，得2，所以x.延长pn交圆于q，则nancnpnq.设npt，则t.所以t，即np.4. 如图，在abc中，c90，be是角平分线，debe交ab于d，圆o是bde的外接圆(1) 求证：ac是圆o的切线；(2) 如果ad6，ae6，求bc的长(1) 证明：连oe，bede，o点为bd的中点oboe，oebobe.oecoebcebobecebcebcbe90，即oeac.又e是ac与圆o的公共点，ac是圆o的切线(2) 解：ae是圆的切线，aedabe.又a共用，adeaeb，即，解得ab12，圆o的半径为3.又oebc，即，解得bc4.几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等符号语言： 在圆o中，弦ab、cd相交于点p， papbpcpd.(图)图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，