【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第五章 数列第1课时数列的概念及其简单表示法第六章 (对应学生用书(文)、(理)7071页)考情分析考点新知理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 了解数列是自变量为正整数的一类函数.1. (必修5p32习题1改编)一个数列的前四项为1，则它的一个通项公式是_答案：an(1)n2. (必修5p31练习2改编)已知数列an的通项公式是an，则这个数列的第5项是_答案：a53. (必修5p44习题8改编)若数列an的前n项和snn23n，则a6a7a8_答案：48解析：a6a7a8s8s5884048.4. (必修5p32习题6改编)已知数列an的通项公式是ann28n5，这个数列的最小项是_答案：11解析：由an(n4)211，知n4时，an取最小值为11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列项数无限的数列叫做无穷数列3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1，2，3，)有意义，那么可以得到一个数列f(n)4. 数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式anf(n)(n1，2，3，)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式可以看成数列的函数解析式5. 数列an的前n项和sn与通项an的关系是an备课札记题型1由数列的前几项写通项公式例1写出下列数列的一个通项公式：(1) 1，3，5，7，9，(2) 1，0，0，0，(3) a，b，a，b，a，b，(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，(5) 1，解：(1) an(1)n1(2n1)(2) an.(3) an.(4) an1.(5) an()1n.写出下列数列的一个通项公式：(1) ，2，8，(2) 5，55，555，5555，(3) 1，3，6，10，15，解：(1) an(1)n.(2) an(10n1)(3) an.题型2由an与sn关系求an例2已知数列an的前n项和sn，求通项an.(1) sn3n1；(2) snn23n1.解：(1) n1时，a1s12.n2时，ansnsn123n1.当n1时，an1符合上式 an23n1.(2) n1时，a1s15.n2时，ansnsn12n2.当n1时a15不符合上式 an已知函数f(x)ax2bx(a0)的导函数f(x)2x7，数列an的前n项和为sn，点pn(n，sn)(nn*)均在函数yf(x)的图象上，求数列an的通项公式及sn的最大值解：由题意可知： f(x)ax2bx(a0)， f(x)2axb，由f(x)2x7对应相等可得a1，b7， 可得f(x)x27x.因为点pn(n，sn)(nn*)均在函数yf(x)的图象上，所以有snn27n.当n1时，a1s16；当n2时，ansnsn12n8，a16适合上式， an2n8(nn*)令an2n80得n4，当n3或n4时，sn取得最大值12.综上，an2n8(nn*)，当n3或n4时，sn取得最大值12.题型3数列的性质例3如下表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列an，a14，anf(an1)，n2，3，4，求a2 008.解：a14，a21，a35，a42，a54，可得an4an.所以a2008a42.已知数列的通项公式an(nn*)，求数列前30项中的最大项和最小项解：an1，当n9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10n30时，an随着n的增大越来越小且大于1，前30项中最大项为a10，最小项为a9.1. 已知a11，ann(an1an)(nn*)，则数列an的通项公式是_答案：ann解析：由已知整理得(n1)annan1， . 数列是常数列，且1. ann.2. 设a0，若an且数列an是递增数列，则实数a的范围是_答案：2a3解析：由an是递增数列，得解得 2a3.3. 已知数列an的前n项和为sn，满足log2(1sn)n1，则an的通项公式为_答案：an解析：由log2(1sn)n1，得sn2n11.n1时，a1s13.n2时，ansnsn12n.当n1时a13不符合上式， an4. (2013湖南)设sn为数列an的前n项和，若sn(1)nan，nn，则a3_答案：解析：当n3时，s3a1a2a3a3，则a1a22a3，当n4时，s4a1a2a3a4a4，两式相减得a3.5. 若数列中的最大项是第k项，则k_答案：4解析：设最大项为第k项，则有 解得 k4.1. 若ann2n3(其中为实常数)，nn*，且数列an为单调递增数列，则实数的取值范围为_答案：(3，)解析：解法1：(函数观点)因为an为单调递增数列，所以an1an，即(n1)2(n1)3n2n3，化简为2n1对一切nn*都成立，所以3.故实数的取值范围为(3，)解法2：(数形结合法)因为an为单调递增数列，所以a1a2，要保证a1a2成立，二次函数f(x)x2x3的对称轴x应位于1和2中点的左侧，即，亦即3，故实数的取值范围为(3，)2. 已知ann0.8n(nn*)(1) 判断数列an的单调性；(2) 是否存在最小正整数k，使得数列an中的任意一项均小于k？请说明理由解：(1) an1an0.8n(nn*)，n4时，anan1；n4时，a4a5；n4时，anan1.即a1，a2，a3，a4单调递增，a4a5，而a5，a6，单调递减(2) 由(1) 知，数列an的第4项与第5项相等且最大，最大项是1.故存在最小的正整数k2，使得数列an中的任意一项均小于k.3. 若数列an满足an1anan2(nn*)，则称数列an为“凸数列”(1) 设数列an为“凸数列”，若a11，a22，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2) 在“凸数列”an中，求证：an3an，nn*；(3) 设a1a，a2b，若数列an为“凸数列”，求数列前2011项和s2 011.(1) 解：a11，a22，a33，a41，a52，a63，故s60.(2) 证明：由条件得所以an3an.(3) 解：由(2) 的结论得an6an3an，即an6an. a1a，a2b，a3ba，a4a，a5b，a6ab，s60.由(2)得s6nksk，nn*，k1，6，故s2 011s33561a1a.4. 已知数列的前n项和为sn，并且满足a12，nan1snn(n1)(1) 求an的通项公式；(2) 令tnsn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有tntm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由解：(1) 令n1，由a12及nan1snn(n1)，得a24，故a2a12，当n2时，有(n1)ansn1n(n1)，得nan1(n1)anan2n.整理得an1an2(n2)当n1时，a2a12，所以数列an是以2为首项，以2为公差的等差数列，故an2(n1)22n.(2) 由(1)得snn(n1)，所以tn(n2n)故tn1(n1)2(n1)，令即即解得8n9.故t1t2t10t11故存在正整数m对一切正整数n，总有tntm，此时m8或m9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因