【步步高】高三数学一轮 4.7解三角形应用举例课时检测 理 （含解析）北师大版.doc

4.7 解三角形应用举例一、选择题1在某次测量中，在a处测得同一平面方向的b点的仰角是50，且到a的距离为2，c点的俯角为70，且到a的距离为3，则b、c间的距离为()a. b.c. d.解析：因bac120，ab2，ac3.bc2ab2ac22abaccos bac49223cos 12019.bc.答案：d2如图所示，为了测量某障碍物两侧a，b间的距离，给定下列四组数据，不能确定a，b间距离的是()a，a，b b，aca，b， d，b解析选项b中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定ab.选项c中可由余弦定理确定ab.选项d同b类似，故选a.答案a3某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()a. b2 c.或2 d3解析如图所示，设此人从a出发，则abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案c4如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a、b两点的距离为()a50 m b50 mc25 m d. m解析 由题意，得b30.由正弦定理，得，ab50(m)答案 a 5两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()aa km b.a kmc2a km d.a km解析 依题意得acb120，由余弦定理，得cos120.ab2ac2bc22acbccos120a2a22a23a2，aba，故选d.答案 d 6据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()a.米 b10米 c.米 d20米解析如图所示，设树干底部为o，树尖着地处为b，折断点为a，则abo45，aob75，oab60.由正弦定理知，ao(米)答案a7如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)()a11.4 b6.6 c6.5 d5.6解析ab1 0001 000 (m)，bcsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案b二、填空题8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔m在北偏东60方向，行驶4 h后，船到b处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.解析：如图所示，依题意有ab15460，mab30，amb45，在amb中，由正弦定理得，解得bm30答案：30 9如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60，再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是_米解析在bcd中，cd10，bdc45，bcd1590105，dbc30，bc10.在rtabc中，tan 60，abbctan 6010(米)答案1010 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面，在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60和30，且座位a、b的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知ban105，bna30，由正弦定理得，解得an20(米)，在rtamn中，mn20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案3011如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从a处沿正北方向行进x m到达b处发现一个生命迹象，然后向右转105，进行10 m到达c处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析由题知，cba75，bca45，bac180754560，.x m.答案 m12如图，一船在海上自西向东航行，在a处测得某岛m的方位角为北偏东角，前进m海里后在b处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在abm中，根据正弦定理得，解得bm，要使该船没有触礁危险需满足bmsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题13隔河看两目标a与b，但不能到达，在岸边先选取相距千米的c，d两点，同时，测得acb75，bcd45，adc30，adb45(a，b，c，d在同一平面内)，求两目标a，b之间的距离解析如图所示，在acd中，adc30，acd120，cad30，accd(千米)，在bdc中，cbd180457560.由正弦定理得，bc(千米)在abc中，由余弦定理，可得ab2ac2bc22acbccosbca，即ab2()222cos 755.ab (千米)所以两目标a、b间的距离为千米14如图，渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处，且与岛屿a相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达c处(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析(1)依题意知，bac120，ab12(海里)，ac10220(海里)，bca，在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得bc28(海里)所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在abc中，因为ab12(海里)，bac120，bc28(海里)，bca，由正弦定理，得.即sin .15如图所示，甲船由a岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从a岛出发的同时，乙船从a岛正南40 n mile处的b岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?解析 (1)设t小时后，两船在m处相遇，由tan，得sin，cos，所以sinambsin(45).由正弦定理，am40，同理得bm40.t，m15.(2)以a为原点，ba所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在p(x1，y1)，q(x2，y2)处，则|ap|15t，|bq|10t.由任意角三角函数的定义，可得即点p的坐标是(15t,15t)，即点q的坐标是(10t,20t40)，|pq|20，当且仅当t4时，|pq|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.16某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思路分析第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式解析(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900