【步步高】高考数学总复习 第八章 8.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离强化训练 理 北师大版(1).DOC

8.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离1 空间向量与空间角的关系(1)已知异面直线l1，l2的方向向量分别为s1，s2，当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2(2)已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2(3)已知直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，则直线l与平面的夹角满足：sin |coss，n|.2 距离公式点到直线的距离公式：d.点到平面的距离公式：d|n0|.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角()(4)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0，()(5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120，则l和所成角为30.()2 已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()a. b. c. d.答案b解析m，n，异面直线m，n所成的角的补角与二面角l互补又异面直线所成角的范围为(0，m，n所成的角为.3 在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于()a4 b2 c3 d1答案b解析p点到平面oab的距离为d2，故选b.4 若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_答案解析na8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.5 p是二面角ab棱上的一点，分别在平面、上引射线pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么平面与的夹角为_答案90解析不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，平面与的夹角为90.题型一求异面直线所成的角例1长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a. b. c. d.思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量、所成的角来求答案b解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.思维升华用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，所以要注意二者的区别与联系，应有cos |cos |.已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为正方形，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案c解析如图，以d为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设aa12ab2，则b(1,1,0)，e(1,0,1)，c(0,1,0)，d1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.题型二求直线与平面所成的角例2如图，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高，e为ad的中点(1)证明：pebc；(2)若apbadb60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面peh的法向量(1)证明以h为原点，ha，hb，hp所在直线分别为x，y，z轴，线段ha的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则a(1,0,0)，b(0,1,0)设c(m,0,0)，p(0,0，n) (m0)，则d(0，m,0)，e.可得，(m，1,0)因为00，所以pebc.(2)解由已知条件可得m，n1，故c，d，e，p(0,0,1)设n(x，y，z)为平面peh的法向量，则即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直线pa与平面peh所成角的正弦值为.思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角(2013湖南)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值方法一(1)证明如图，因为bb1平面abcd，ac平面abcd，所以acbb1.又acbd，所以ac平面bb1d，而b1d平面bb1d，所以acb1d.(2)解因为b1c1ad，所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为)如图，连接a1d，因为棱柱abcda1b1c1d1是直棱柱，且b1a1d1bad90，所以a1b1平面add1a1，从而a1b1ad1.又adaa13，所以四边形add1a1是正方形于是a1dad1，故ad1平面a1b1d，于是ad1b1d.由(1)知，acb1d，所以b1d平面acd1.故adb190，在直角梯形abcd中，因为acbd，所以bacadb.从而rtabcrtdab，故，即ab.连接ab1，易知ab1d是直角三角形，且b1d2bbbd2bbab2ad221，即b1d.在rtab1d中，cosadb1，即cos(90).从而sin .即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300，所以，即acb1d.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin |cosn，|.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.题型三求两个平面的夹角例3(2013课标全国)如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求平面a1cd与平面a1ce夹角的正弦值思维启迪根据题意知acb90，故ca、cb、cc1两两垂直，可以c为原点建立空间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角(1)证明连接ac1交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)解由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.所以平面a1cd与平面a1ce夹角的正弦值为.思维升华求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为0，如图，在圆锥po中，已知po，o的直径ab2，c是的中点，d为ac的中点(1)证明：平面pod平面pac；(2)求平面abp与平面acp夹角的余弦值(1)证明如图，以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0，)，d(，0)设n1(x1，y1，z1)是平面pod的一个法向量，则由n10，n10，得所以z10，x1y1，取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面pac的一个法向量，则由n20，n20，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面pod平面pac.(2)解因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面pac的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .所以平面abp与平面acp夹角的余弦值为.题型四求空间距离例4已知正方形abcd的边长为4，cg平面abcd，cg2，e，f分别是ab，ad的中点，则点c到平面gef的距离为_思维启迪所求距离可以看作cg在平面gef的法向量的投影答案解析建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则(0,0,2)，由题意易得平面gef的一个法向量为n(1,1,3)，所以点c到平面gef的距离为d.思维升华求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便(2012大纲全国改编)已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为正方形，ab2，cc12，e为cc1的中点，则点a到平面bed的距离为()a2 b. c. d1答案d解析以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(0,2，)设n(x，y，z)是平面bed的法向量则.取y1，则n(1,1，)为平面bed的一个法向量又(2,0,0)，点a到平面bed的距离是d1.利用空间向量求角典例：(12分)(2013江西)如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，e为bd的中点，g为pd的中点，dabdcb，eaebab1，pa，连接ce并延长交ad于f.(1)求证：ad平面cfg；(2)求平面bcp与平面dcp夹角的余弦值思维启迪(1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用ad、ap、ab两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面bcp、dcp夹角的余弦值规范解答(1)证明在abd中，因为e为bd的中点，所以eaebedab1，故bad，abeaeb.因为dabdcb，所以eabecb，从而有fedbecaeb，所以fedfea.2分故efad，affd，又因为pggd，所以fgpa.又pa平面abcd，4分所以gfad，故ad平面cfg.6分(2)解以a为坐标原点建立如图所示的坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c，d(0，0)，p，故，.8分设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y1，则x13，z12，n1(3，2)9分同理求得面dcp的法向量为n2(1，2)，10分从而平面bcp与平面dcp夹角的余弦值为cos |cosn1，n2|.12分利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点的坐标第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标第四步：计算向量的夹角(或函数值)第五步：将向量夹角转化为所求的空间角第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错方法与技巧1 用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算2 求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段失误与防范1 利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同2 求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1已知正方体abcda1b1c1d1如图所示，则直线b1d和cd1所成的角为()a60 b45c30 d90答案d解析以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线cd1、b1d的方向向量分别是(1,0,1)，(1,1，1)，cos，0，直线b1d和cd1所成的角为90.2 如图，四棱锥sabcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是()aacsbbab平面scdcsa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角dab与sc所成的角等于dc与sa所成的角答案d解析四边形abcd是正方形，acbd.又sd底面abcd，sdac.其中sdbdd，ac平面sdb，从而acsb.故a正确；易知b正确；设ac与db交于o点，连接so.则sa与平面sbd所成的角为aso，sc与平面sbd所成的角为cso，又oaoc，sasc，asocso.故c正确；由排除法可知选d.3 (2013山东)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b. c. d.答案b解析如图所示：sabcsin .vabca1b1c1sabcopop，op.又oa1，tanoap，又0oap，oap.4 在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.所以平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为.5 在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，设papbpca，则点p到平面abc的距离为()a. b.a c. d.a答案b解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系pxyz，则p(0,0,0)，a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(0,0，a)过点p作ph平面abc，交平面abc于点h，则ph的长即为点p到平面abc的距离papbpc，h为abc的外心又abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.ph a.点p到平面abc的距离为a.二、填空题6 已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面夹角的大小为_答案解析cosm，n，m，n.两平面夹角的大小为.7 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_答案60解析以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.8 正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别为bb1、cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为_答案解析以a为坐标原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，f(，1,0)，d1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点f到平面a1d1e的距离为d.三、解答题9 如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pa与平面abd所成的角为60，在四边形abcd中，adcdab90，ab4，cd1，ad2.(1)建立适当的坐标系，并写出点b，p的坐标；(2)求异面直线pa与bc所成的角的余弦值解(1)建立如图空间直角坐标系，adcdab90，ab4，cd1，ad2，a(2,0,0)，c(0,1,0)，b(2,4,0)由pd平面abcd，得pad为pa与平面abcd所成的角，pad60.在rtpad中，由ad2，得pd2，p(0,0,2)(2)(2,0，2)，(2，3,0)，cos，异面直线pa与bc所成的角的余弦值为.10(2013天津)如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明：b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长方法一如图，以点a为原点，以ad，aa1，ab所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)证明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2)解(1，2，1)设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量于是cosm，从而sinm，所以二面角b1cec1的正弦值为.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量设为直线am与平面add1a1所成的角，则sin |cos，|，于是，解得(负值舍去)，所以am.方法二(1)证明因为侧棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.经计算可得b1e，b1c1，ec1，从而b1e2b1cec，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e，cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e，又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)解过b1作b1gce于点g，连接c1g.由(1)知，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1为二面角b1cec1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sin b1gc1，即二面角b1cec1的正弦值为.(3)解连接d1e，过点m作mhed1于点h，可得mh平面add1a1，连接ah，am，则mah为直线am与平面add1a1所成的角设amx，从而在rtahm中，有mhx，ahx.在rtc1d1e中，c1d11，ed1，得ehmhx.在aeh中，aeh135，ae1，由ah2ae2eh22aeehcos 135，得x21x2x，整理得5x22x60，解得x(负值舍去)所以线段am的长为.b组专项能力提升(时间：30分钟)1 过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp的夹角大小为()a30 b45 c60 d90答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，设abpa1，知a(0,0,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)由题意得，ad平面abp，设e为pd的中点，连接ae，则aepd，又cd平面pad，aecd，又pdcdd，ae平面cdp.(0,1,0)，(0，)分别是平面abp、平面cdp的法向量，而，45，平面abp与平面cdp的夹角大小为45.2 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中点，e，f分别是cc1，ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于_答案解析以d为原点，分别以da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，o(1,1,0)，e(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.3 设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是_答案解析如图建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1