【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习 8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）求空间角、距离同步检测 理 新人教A版.doc

8.8 立体几何中的向量方法（）-求空间角、距离一、选择题1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1上的动点，则直线no、am的位置关系是()a平行 b相交c异面垂直 d异面不垂直解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直答案c2正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|为()a.a b.a c.a d.a解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得m，| a.答案a3在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为()a. b. c. d.解析设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，答案b4两平行平面，分别经过坐标原点o和点a(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()a. b. c. d3解析 两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|n0|.答案b5已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，点b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则cd()a2 b. c. d1解析如图，建立直角坐标系dxyz，由已知条件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t0)，由ab2解得t.答案c6正方体abcd-a1b1c1d1中，e是棱bb1中点，g是dd1中点，f是bc上一点且fbbc，则gb与ef所成的角为()a30 b120 c60 d90解析如图建立直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件g，b，e，f，cos，0，则.答案d7如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b.c2 d.解析 如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)，d(1,0,1)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面b1cd的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得，即a，故ad.答案：a二、填空题8已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_解析 以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得p(，)，再由cosapc可求得当时，apc最大，故vpabc11.答案 9如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体abcda1b1c1d1，点m是线段dc1上的动点，则点m到直线ad1距离的最小值为_解析 设m(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线ad1的一个单位方向向量s0，由(0，m，am)，故点m到直线ad1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值2aa2a2，故d的最小值为a.答案 a 10若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，8 3(6)，解得2或.答案2或11正四棱锥s abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角的大小为_解析如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案3012已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面abc的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案三、解答题13. 如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd.四边形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.(1)求证：平面pab平面pad；(2)设abap.若直线pb与平面pcd所成的角为30，求线段ab的长解析：(1)证明：因为pa平面abcd，ab平面abcd，所以paab.又abad，paada，所以ab平面pad.又ab平面pab，所以平面pab平面pad.(2)以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz(如图)在平面abcd内，作ceab交ad于点e，则cead.在rtcde中，decdcos451，cecdsin451.设abapt，则b(t,0,0)，p(0,0，t)由abad4得ad4t，所以e(0,3t,0)，c(1,3t,0)，d(0,4t,0)，(1,1,0)，(0,4t，t)设平面pcd的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面pcd的一个法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直线pb与平面pcd所成的角为30得cos60|，即，解得t或t4(舍去，因为ad4t0)，所以ab.14如图所示，四棱锥abcde中，底面bcde为矩形，侧面abc底面bcde，bc2，cd，abac.(1)证明：adce；(2)设侧面abc为等边三角形，求二面角cade的大小解析 (1)证明取bc中点o，连接ao，则aobc由已知条件ao平面bcde，如图，建立直角坐标系oxyz，则a(0,0，t)，d(1，0)，c(1,0,0)，e(1，0)，(1，t)，(2，0)，则0，因此adce.(2) 作cfad垂足为f，连接ef，由ad平面cef知efad，则cfe为二面角cade的平面角在rtacd中，cf，在等腰ade中ef，coscfe.二面角cade的余弦值为.15在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb90，ea平面abcd，efab，fgbc，egac，ab2ef.(1)若m是线段ad的中点，求证：gm平面abfe；(2)若acbc2ae，求二面角abfc的大小解析 (1)证明法一因为efab，fgbc，egac，acb90，所以egf90，abcefg.由于ab2ef，因此bc2fg.连接af，由于fgbc，fgbc，在abcd中，m是线段ad的中点，则ambc，且ambc，因此fgam且fgam，所以四边形afgm为平行四边形，因此gmfa.又fa平面abfe，gm平面abfe，所以gm平面abfe.法二因为efab，fgbc，egac，acb90，所以egf90，abcefg，由于ab2ef，所以bc2fg.取bc的中点n，连接gn，因此四边形bngf为平行四边形，所以gnfb.在abcd中，m是线段ad的中点，连接mn，则mnab.因为mngnn，abfbb，所以平面gmn平面abfe.又gm平面gmn，所以gm平面abfe.(2)法一因为acb90，所以cad90，又ea平面abcd，所以ac，ad，ae两两垂直分别以ac，ad，ae所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设acbc2ae2，则由题意得a(0,0,0)，b(2，2,0)，c(2,0,0)，e(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0)又efab，所以f(1，1,1)，(1,1,1)设平面bfc的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面abf的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21，则n(1,1,0)，所以cosm，n.因此二面角abfc的大小为60.法二由题意知，平面abfe平面abcd，取ab的中点h，连接ch，因为acbc，所以chab，则ch平面abfe.过h向bf引垂线交bf于r，连接cr，则crbf，所以hrc为二面角abfc的平面角由题意，不妨设acbc2ae2.在直角梯形abfe中，连接fh，则fhab，又ab2，所以hfae1，bh，因此在rtbhf中，hr.由于chab，所以在rtchr中，tanhrc，因此二面角abfc的大小为60.16如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点(1)求证：af平面bce；(2)求证：平面bce平面cde；(3)求直线bf和平面bce所成角的正弦值解析 方法一：(1)证法一：取ce的中点g，连接fg、bg.f为cd的中点，gfde且gfde，ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.又de2ab，四边形gfab为平行四边形，则afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.证法二：取de的中点m，连接am、fm，f为cd的中点，fmce.ab平面acd，de平面acd，deab.又abdeme，四边形abem为平行四边形，则ambe.fm、am平面bce，ce、be平面bce，fm平面bce，am平面bce.又fmamm，平面afm平面bce.af平面afm，af平面bce.(2)证明：acd为等边三角形，f为cd的中点，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，故af平面cde.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.(3)在平面cde内，过f作fhce于h，连接bh，平面bce平面cde，fh平面bce.fbh为bf和平面bce所成的角设adde2ab2a，则fhcfsin45a，bf2a，在rtfhb中，sinfbh.直线bf和平面bce所成角的正弦值为.方法二：设adde2ab2a，建立如图所示的坐标系axyz，则a(0,0,0)，c(2a,0,0)