山东省聊城市第四中学高三数学总复习测试 空间向量的应用(1).docVIP

山东省聊城市第四中学2014届高三数学总复习测试 空间向量的应用一课标要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二考试说明要求：1了解空间向量的基本概念及数量积的定义，2会用空间向量知识证明平行垂直问题3会用空间向量进行求角求距离的运算三要点回顾1空间向量的概念：2向量运算和运算律：3（1）平行向量(共线向量)： （2）共线向量定理： 推论：如果l为经过已知点a且平行于已知非零向量山东省聊城市第四中学2014届高三数学总复习测试 空间向量的应用的直线，那么对任一点o，点p在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，则式可化为 当时，点p是线段ab的中点，则 4（1）向量与平面平行：（2）共面向量： （3）共面向量定理 推论：空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点o，有在平面mab内，点p对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面mab的向量表示式又代入，整理得 5空间向量基本定理： 6数量积（1）夹角： （2）向量的模： （3）向量的数量积：（4）性质与运算律。 =0 = 四典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是 例2下列命题正确的是若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；题型2：空间向量的基本运算例3如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是 例4已知：且不共面.若,求的值.题型3：空间向量的坐标例5（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是a. ：|=：|b.a1b1=a2b2=a3b3c.a1b1+a2b2+a3b3=0d.存在非零实数k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，则x+y的值是a. 3或1 b.3或1 c. 3 d.1（3）下列各组向量共面的是（）a. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)b. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)c. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)d. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)例6已知空间三点a（2，0，2），b（1，1，2），c（3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量k+与k2互相垂直，求k的值.题型4：数量积例7(2000江西、山西、天津理，4)设、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）= | （）（）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）a. b. c. d.例8（1）（2002上海文，理2）已知向量和的夹角为120，且|=2，|=5，则（2）=_.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。求x1+y1和x1y1的值； 题型5：空间向量的应用例9（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：。（2）已知f1=i+2j+3k，f2=-2i+3j-k，f3=3i-4j+5k，若f1，f2，f3共同作用于同一物体上，使物体从点m1（1，-2，1）移到点m2(3，1，2)，求物体合力做的功。例10 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，,，侧面底面，是的中点，ao交于点. （1）求证：; （2）求二面角的正弦值； （3）求证：平面平面.例11 如图所示：边长为2的正方形abfc和高为2的直角梯形adef所在的平面互相垂直且de=，ed/af且daf=90。 （1）求bd和面bef所成的角的余弦； （2）线段ef上是否存在点p使过p、a、c三点的平面和直线db垂直，若存在，求ep与pf的比值；若不存在，说明理由。1,3,5例12如图，四棱锥pabcd中，paabcd，四边形abcd是矩形. e、f分别是ab、pd的中点.若pa=ad=3，cd=. （i）求证：af/平面pce； （ii）求点f到平面pce的距离； （iii）求直线fc与平面pce所成角的正弦值.作业：1已知向量a12b12c3d31,3,52如图，非零向量为垂足，设向量，则值为abcd3非零向量、满足（），则abc为 a三边均不相等的三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d等边三角形4（本小题满分12分） 四棱锥eabcd中，底面abcd是矩形且ab=2bc=2，侧面ade是正三角形且垂直于底面abcd，f是ab的中点，ad中点为o，求： （1）异面直线ae与cf所成角的余弦值； （2）二面角efcd的余弦值； （3）点o到平面efc的距离.参考答案例1解析：对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确，选c例2解析：a中向量为零向量时要注意，b中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，d中需保证不为零向量。答案c。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。例3解析：显然；答案为a。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例4解析：,且即又不共面,点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例5解析：（1）d；点拨：由共线向量定理易知；（2）a点拨：由题知，得或（3）a点拨：由共面向量基本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。例6解析：a(2，0，2)，b（1，1，2），c(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，所以和的夹角的余弦值为； (2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。则k=或k=2。点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k2)=k22k22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。例7答案：d解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）=（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立.故真.例8解析：（1）答案：13；解析：（2）=22=2|2|cos120=2425（）=13。（2）解：(1)|=|=1，.又与的夹角为，=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=。另外=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。例9解析：（1）设=()，=(1，1，1)，则|=4，|=.|，=|=4.当且仅当与同向，即a=b=c=时，取“=”号。（2）解：w=fs=(f1+f2+f3)=14。点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。例10解法一 （1）,.面面, 面面，平面2分在梯形中，可得,即在平面内的射影为，. 4分（2）由（1）知,又面,.又,面设为的中点，.连结由三垂线定理得.是二面角的平面角.在中容易求出，在中，由面积法知，在中，即二面角的正弦值大小为. （3）取中点，连结,平面平面平面面平面平面由知平面.连结、，则由,得四边形为平行四边形平面,又 平面平面平面 12分解法二，又平面平面, 平面平面平面以中点为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系2分 （1）则在直角梯形中，,在等边三角形中，, . 4分（2），设平面的法向量为，取，平面的法向量为，所以即二面角大小为.8分 （3）设平面的法向量为，取，平面平面.12分例11解析：（1）因为ac、ad、ab两两垂直，建立如图坐标系，1分则b（2，0，0），d（0，0，2），e（1，1，2），f（2，2，0），则3分设平面bef的法向量，则可取，向量所成角的余弦为7分即bd和面bef所成的角的余弦8分 （2）假设线段ef上存在点p使过p、a、c三点的平面和直线db垂直，不妨设ep与pf的比值为m，则p点坐标为则向量，向量10分所以12分例12解法一： （i）取pc的中点g，连结eg，fg，又由f为pd中点，=则 fg/.=又由已知有四边形aegf是平行四边形.平面pce，eg5分 （ii）.10分 （iii）由（ii）知14分解法二：如图建立空间直角坐标系，a（0，0，0），p（0，0，3），d（0，3，0），e