【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题13 解决直线与圆及其应用问题.doc

专题十三 解决直线与圆及其应用问题 【典题导引】例1. 已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切（1）求圆的方程；（2）设点，过点作直线与圆交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作圆的切线，切点为求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解：（1）设圆的方程为：，圆与直线相切， ，所求的圆的方程是；（2），圆心与直线的距离， 直线过点，满足题设， 直线斜率存在时，设直线的方程为：，即， ， 直线的方程为，即，综上，所求的直线的方程为或；（3）设点，则由题设，经过三点的圆是以为直径的圆， 经过三点的圆方程为：，整理得：，由得或，经过三点的圆必过定点和例2. 已知椭圆的离心率为，一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点 若，求圆的方程；若是上的动点，求证:点在定圆上，并求该定圆的方程qoxmypf例2图（1）解：由题设可知，椭圆的方程为：；（2）解：由（1）知：，设，则圆的方程为：，直线的方程为：，.圆的方程为：或;证明：证法一设，由知：即消去得. 点在定圆上 证法二：设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为：，点的坐标为 ，,点在定圆上例3.（2013新课标）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.解：由已知得圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径. 设动圆的圆心为,半径为. (1)圆与圆外切且与圆内切, 由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点,长半轴长为,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为； (2)对于曲线上任意一点,由于, 当且仅当圆的圆心为时,. 当圆的半径最长时,其方程为, 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得. 当的倾斜角不为时,由知不平行于轴,设与轴的交点为,则,可求得,设,由与圆相切得,解得. 当时,将代入并整理得,解得,. 当时,由图形的对称性可知, 综上，或.例4.（2013江苏）如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.（1）若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;（2）若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.xyalo例4图解：（1）由得到圆心坐标， 圆方程为. 切线斜率不存在时，不合题意; 设切线方程为, 解得或. 切线方程为或.（2）设,则圆方程为, 设,由题意得, ,即, 存在,圆与圆有交点, 即两圆相交或相切. , 即, .【归类总结】1判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误2求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数其一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；利用条件列出关于、或、的方程组；解出、或、，代入标准方程或一般方程此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量3（1）在解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与