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专题十四 解决圆锥曲线与方程问题 【典题导引】例1. 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，求直线的方程解: (1)由已知可设椭圆的方程为， 其离心率为，故，解得.故椭圆的方程为;(2)两点的坐标分别记为，由及(1)知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以.将代入中，得，所以.又由，得，解得.故直线的方程为或. 例2图例2. (2012安徽)如图，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.（1）求椭圆的离心率；（2）已知的面积为，求的值解: (1)由题意可知，为等边三角形，所以.(2)方法一:，直线的方程为，将其代入椭圆方程，得，.由，解得，.方法二:设.因为，所以.由椭圆定义可知，再由余弦定理可得，.由知，.例3.（2014江苏） 如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结例3图（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值解：（1），,，,椭圆方程为;（2）设焦点.关于x轴对称，,三点共线，即,，即,联立方程组，解得, ,c在椭圆上，化简得，, 故离心率为.例4. (2013课标全国)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值解：(1)设，则,则,，得.因为，设，因为为的中点，且的斜率为，所以，即所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以椭圆的方程为；(2)因为，直线方程为，所以设直线方程为，将代入得：，即，所以可得；将代入得：，设，则，又因为，即，所以当时，取得最大值，所以四边形面积的最大值为.【归类总结】1圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求
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