【状元之路】高中数学 空间向量与立体几何单元综合测试 新人教A版选修21(1).docVIP

单元测评(三)空间向量与立体几何(时间：90分钟满分：120分 2014.4)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1以下四组向量中，互相平行的组数为()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)a1组 b2组c3组 d4组解析：中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行答案：b2在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面；若a，b，c为空间的一组基底，则ab，bc，ca构成空间的另一组基底；|(ab)c|a|b|c|.a2个 b3个c4个 d5个解析：|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：c3如图，已知四边形abcd为矩形，pa平面abcd，连接ac，bd，pb，pc，pd，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()a.与 b.与c.与 d.与解析：建立如图所示的空间直角坐标系设矩形abcd的长、宽分别为a，b，pa长为c，则a(0,0,0)，b(b,0,0)，d(0，a,0)，c(b，a,0)，p(0,0，c)则(b，a，c)，(b，a,0)，(0，a，0)，(b,0，c)，(0，a，c)，(b,0,0)，(0,0，c)，(b,0,0)b2a2不一定为0.0，0，0.答案：a4已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a3e12e2e3，be12e3，则(6a)等于()a15 b3c3 d5解析：(6a)3ab3(3e12e2e3)(e12e3)9|e1|26|e3|23.答案：b5如图，abacbd1，ab面，ac面，bdab，bd与面成30角，则c、d间的距离为()a1 b2c. d.解析：|2|2|2|2|222211100211cos1202.|.答案：c6已知空间三点o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)在直线oa上有一点h满足bhoa，则点h的坐标为()a(2,2,0) b(2，2,0)c. d.解析：由(1,1,0)，且点h在直线oa上，可设h(，0)，则(，1，1)又bhoa，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，h.答案：c7已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则向量ab与ab的夹角是()a90 b60c30 d0解析：(ab)(ab)a2b2(cos2sin21)(sin21cos2)0，(ab)(ab)答案：a8已知e、f分别是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1的中点，则截面aefd1与底面abcd所成二面角的正弦值是()a. b.c. d.解析：以d为坐标原点，以da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图则a(1,0,0)，e，f，d1(0,0,1)，l所以(1,0,1)，.设平面aefd1的法向量为n(x，y，z)，则x2yz.取y1，则n(2,1,2)，而平面abcd的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：c9在三棱锥pabc中，abc为等边三角形，pa平面abc，且paab，则二面角apbc的平面角的正切值为()a. b.c. d.解析：设paab2，建立如图所示的空间直角坐标系则b(0,2,0)，c(，1,0)，p(0,0,2)，(0，2,2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面pbc的一个法向量则即令y1，则x ，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面pab的一个法向量则cosm，n.正切值tanm，n.答案：a10已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为()a. b.c. d.解析：q在op上，可设q(x，x,2x)，则(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时q.答案：c第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11已知a(3，2，3)，b(1，x1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析：因为a与b的夹角为钝角，于是1cosa，b0，因此ab0，且a与b的夹角不为，即cosa，b1.解得x.答案：12如图所示，已知正四面体abcd中，aeab，cfcd，则直线de和bf所成的角的余弦值为_解析：，cos，.答案：13已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_.解析：由题意知解得x64，y26，z17.答案：(64，26，17)14已知空间四边形oabc，如图所示，其对角线为ob、ac，m、n分别为oa、bc的中点，点g在线段mn上，且3，现用基向量、表示向量，并设xyz，则x、y、z的和为_解析：，x，y，z.xyz.答案：三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)已知a(1,2，2)(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c(0，m，n)垂直，求m、n的值解：(1)设b(，2，2)，而b为单位向量，|b|1，即24242921.(4分)b或b.(6分)(2)由题意，知解得或(12分)16(12分)如下(左)图，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别为ac、ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如下(右)图(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小解：(1)acbc，debc，deac.dea1d，decd，de平面a1dc.dea1c.又a1ccd，a1c平面bcde.(4分)(2)如图所示，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系cxyz，则a1(0,0,2)，d(0,2,0)，m(0,1，)，b(3,0,0)，e(2,2,0)设平面a1be的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，则x2，z，n(2,1，)设cm与平面a1be所成的角为.(0,1，)，sin|cosn，|.cm与平面a1be所成角的大小为.(12分)17(12分)如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点(1)求证：am平面bde；(2)试在线段ac上确定一点p，使得pf与cd所成的角是60.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系设acbdn，连接ne，则n，e(0,0,1)，.又a(，0)，m，.，且ne与am不共线neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(6分)(2)设p(t，t,0)(0t)，则(t，t,1)，(，0,0)又与所成的角为60.，解之得t，或t(舍去)故点p为ac的中点(12分)18(14分)如图，在圆锥po中，已知po，o的直径ab2，c是的中点，d为ac的中点(1)证明：平面pod平面pac；(2)求二面角bpac的余弦值解： (1)证明：如图所示，以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0，)，d.设n1(x1，y1，z1)是平面pod的一个法向量，则由n10，n10，得(4分)z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面pac的一个法向量，则由n20，n20，得x2z2，