【状元之路】高考数学二轮复习 空间向量与立体几何专题训练（含解析）.docVIP

【状元之路】2015版高考数学二轮复习 空间向量与立体几何专题训练（含解析）a级基础巩固组一、选择题1在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为()a. b.c. d.解析设正方体的棱长为2，以d为原点建立如图所示空间坐标系，则(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案b2.如图，三棱锥abcd的棱长全相等，e为ad的中点，则直线ce与bd所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析设ab1，则(a)()2cos60cos60cos60.cos，.故选a.答案a3.如图，点p是单位正方体abcda1b1c1d1中异于a的一个顶点，则的值为()a0b1c0或1d任意实数解析可为下列7个向量：，其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosbac11，故选c.答案c4(2013山东卷)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b.c. d.解析如图所示，设abc的中心为o，sabcsin60.vabca1b1c1sabcopop，op.又oa1，tanoap，又0oap，oap.答案b5在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b.c. d.解析以a为坐标原点建立空间直角坐标系，如图设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，所以|cosn1，n2|.即平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为.故选b.答案b6p是二面角ab棱上的一点，分别在，平面上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为()a60 b70c80 d90解析不妨设pma，pnb，作meab于点e，nfab于点f，如图因为epmfpn45，所以pea，pfb，所以()()abcos60abcos45abcos45ab0.所以，所以二面角ab的大小为90.答案d二、填空题7已知a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5，)若向量a，b，c共面，则_.解析由向量a，b，c共面可得cxayb(x，yr)，故有解得答案18已知空间不共面四点o，a，b，c，o0，且|，则om与平面abc所成角的正切值是_解析由题意可知，oa，ob，oc两两垂直，如图，建立空间直角坐标系oxyz，设oaoboc1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，m，故(1,1,0)，(1,0,1)，.设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得平面abc的一个法向量为n(1,1,1)故cosn，sinn， ，tann，.答案9已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立空间直角坐标系设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abc所成的二面角为，由得令y1，得z3，x1，则n(1,1，3)，平面abc的法向量为m(0,0，1)，coscosn，m，tan.答案三、解答题10.如图所示，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sdada，点e是sd上的点，且dea(01)(1)求证：对任意的(0,1，都有acbe；(2)若二面角caed的大小为60，求的值解(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，d(0,0,0)，e(0,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)，0对任意(0,1都成立，即对任意的(0,1，都有acbe.(2)显然n(0,1,0)是平面ade的一个法向量，设平面ace的法向量为m(x，y，z)，(a，a,0)，(a,0，a)，即令z1，则xy，m(，1)二面角caed的大小为60，cosn，m，(0,1，.11.(2014北京卷)如图，正方形amde的边长为2，b，c分别为am，md的中点在五棱锥pabcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd，pc分别交于点g，h.(1)求证：abfg；(2)若pa底面abcde，且paae，求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长解(1)证明：在正方形amde中，因为b是am的中点，所以abde.又因为ab平面pde，所以ab平面pde.因为ab平面abf，且平面abf平面pdefg，所以abfg.(2)因为pa底面abcde，所以paab，paae.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，f(0,1,1)，(1,1,0)设平面abf的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1.所以n(0，1,1)设直线bc与平面abf所成角为，则sin|cosn，|.因此直线bc与平面abf所成角的大小为.设点h的坐标为(u，v，w)因为点h在棱pc上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面abf的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得.所以点h的坐标为.所以ph 2.b级能力提高组1.(2014江西卷)如图，四棱锥pabcd中，abcd为矩形，平面pad平面abcd.(1)求证：abpd；(2)若bpc90，pb，pc2，问ab为何值时，四棱锥pabcd的体积最大？并求此时平面pbc与平面dpc夹角的余弦值解(1)证明：abcd为矩形，故abad.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以ab平面pad，故abpd.(2)过p作ad的垂线，垂足为o，过o作bc的垂线，垂足为g，连接pg.故po平面abcd，bc平面pog，bcpg，在rtbpc中，pg，gc，bg，设abm，则op ，故四棱锥pabcd的体积为vm .因为m ，故当m，即ab时，四棱锥pabcd的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为o(0,0,0)，b，c，d，p.故，(0，0)，.设平面bpc的法向量n1(x，y,1)，则由n1，n1，得解得x1，y0，n1(1,0,1)同理可求出平面dpc的法向量n2，从而平面bpc与平面dpc夹角的余弦值为cos.2.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd的中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长解(1)证明：以a为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)(0z01)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)由n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b