【科学备考】（新课标）高考数学二轮复习 第八章 立体几何 空间向量的概念及其运算 理（含试题）.doc

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第八章 立体几何 空间向量的概念及其运算 理（含2014试题）理数1. (2014广东,5,5分)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()a.(-1,1,0)b.(1,-1,0)c.(0,-1,1)d.(-1,0,1)答案 1.b解析 1.经检验,选项b中向量(1,-1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60,故选b.2.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，13,5分) 正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是_.答案 2. 解析 2.建立空间直角坐标系如图，则d（0，0，0）、c（0，1，0）、a（1，0，0）、b（1，1，0）、d1（0，0，1）所以。因为动点在线段上运动，所以设. 。所以，因为，所以，即的取值范围是。3.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体中，平面，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。(1) 证明: 平面；(2) 若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。答案 3.查看解析解析 3. 法一：(1) 如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面；(2) 过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则，。 (1) 设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；(2) 由(1) ，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故。4. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，19) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，面，。() 求证：当时，平面面；() 当时，求二面角的大小。答案 4.查看解析解析 4.以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系. (1分)设，由已知得：， (2分)() 当时， , =, ， (3分)=，=， (4分)。 (5分)又， 平面平面平面。 (6分)() ，二面角小于， (11分)二面角余弦值为，二面角b-pd-c大小为。 (12分)5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，19) 如图，在几何体abcdef中，abcd，addccb1，abc60, 四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf1（1）求证：平面fbc平面acfe；（2）点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围答案 5.查看解析解析 5. （1）证明：在四边形abcd中，abcd，ad=dc=cb=1，abc=60, ab=2，ac2=ab2+bc2-2abbccos60=3, ab2=ac2+bc2, bcac.平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcd=ac，bc平面abcd，bc平面acfe. 又因为bc平面fbc， 所以 平面acfe平面fbc， . 5分(2) 解：由(1) 可建立分别以直线ca，cb，cf为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令fm=(0), 则c(0，0，0) ，a(，0，0) ，b(0，1，0) ，m(，0，1) ，取x=1, 则n1=(1, , ),n2=(1,0, 0) 是平面fcb的一个法向量,0, 当=0时，cos有最小值，当=时，cos有最大值. cos. 12分6.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，17）如图，在四棱锥e-abcd中，ea平面abcd，ab/cd，ad=bc=ab，abc= (i) 求证：bce为直角三角形； (ii) 若ae=ab，求ce与平面ade所成角的正弦值答案 6.查看解析解析 6.7.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，19）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，, 点p在底面上的射影为acd的重心，点m为线段上的点（1）当点m为pb的中点时，求证：pd/平面acm；（2）当平面cdm与平面cbm夹角的余弦值为时，试确定点m的位置答案 7.查看解析解析 7. （1）设ac、bd的交点为i，连结mi，因为i、m分别为bd、bp的中点，所以pd/mi，又mi在平面acm内，所以pd/平面acm； 4分（2）设cd的中点为o，分别以oa、oc为x轴、y轴，过o点垂直平面abcd的直线为z轴建立空间直角坐标系，则, ，6分设，则,，设平面cbm的法向量为，则且，令则 10分所以8.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，19）如图，在三棱锥中， 点是的中点，点在线段上, 且（）求的长； （）求二面角的余弦值答案 8.查看解析解析 8.（2） 设平面mnc的一个法向量为，则 令，则，即 9 分平面anc的一个法向量为， 则 故二面角的余弦值为. 12分9.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，17，14分）如图1，在直角梯形中，. 把沿对角线折起到的位置, 如图2所示, 使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接, 点分别为线段的中点.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点, 使得到点四点的距离相等？请说明理由.答案 9.（）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，所以平面，所以.因为在直角梯形中，所以，.所以是等边三角形，所以是中点.所以.同理可证，又.所以平面.（）在平面内过作的垂线 ，如图建立空间直角坐标系，则，.因为，设平面的法向量为.因为，所以有，即，令则所以 .故.所以直线与平面所成角的正弦值为.(iii) 存在，事实上记点为即可.因为在直角三角形中， 在直角三角形中，点，所以点到四个点的距离相等.9.10.（2013重庆，19,13分）如图, 四棱锥p-abcd中, pa底面abcd, bc=cd=2, ac=4, acb=acd=, f为pc的中点, afpb.() 求pa的长;() 求二面角b-af-d的正弦值.答案 10.() 如图, 连结bd交ac于o, 因为bc=cd, 即bcd为等腰三角形, 又ac平分bcd, 故acbd. 以o为坐标原点, , , 的方向分别为x轴, y轴, z轴的正方向, 建立空间直角坐标系o-xyz, 则oc=cdcos=1, 而ac=4, 得ao=ac-oc=3, 又od=cdsin=, 故a(0, -3,0), b(, 0,0), c(0,1, 0), d(-, 0,0).因pa底面abcd, 可设p(0, -3, z), 由f为pc边中点, f. 又=, =(, 3, -z), 因afpb, 故=0, 即6-=0, z=2(舍去-2), 所以|=2.() 由() 知=(-, 3,0), =(, 3,0), =(0,2, ). 设平面fad的法向量为n1=(x1, y1, z1), 平面fab的法向量为n2=(x2, y2, z2),由n1=0, n1=0, 得因此可取n1=(3, , -2).由n2=0, n2=0, 得故可取n2=(3, -, 2).从而法向量n1, n2的夹角的余弦值为cos =.故二面角b-af-d的正弦值为.10.11.（2013四川，19,12分）如图, 在三棱柱abc-a1b1c1中, 侧棱aa1底面abc, ab=ac=2aa1, bac=120, d, d1分别是线段bc, b1c1的中点, p是线段ad的中点.() 在平面abc内, 试作出过点p与平面a1bc平行的直线l, 说明理由, 并证明直线l平面add1a1;() 设() 中的直线l交ab于点m, 交ac于点n, 求二面角a-a1m-n的余弦值.答案 11.() 如图, 在平面abc内, 过点p作直线lbc, 因为l在平面a1bc外, bc在平面a1bc内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l平面a1bc.由已知, ab=ac, d是bc的中点,所以bcad, 则直线lad.因为aa1平面abc, 所以aa1直线l.又因为ad, aa1在平面add1a1内, 且ad与aa1相交,所以直线l平面add1a1. (6分)() 解法一: 连结a1p, 过a作aea1p于e, 过e作efa1m于f, 连结af.由() 知, mn平面aea1, 所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn, 则a1mae.所以a1m平面aef, 则a1maf.故afe为二面角a-a1m-n的平面角(设为).设aa1=1, 则由ab=ac=2aa1, bac=120, 有bad=60, ab=2, ad=1.又p为ad的中点, 所以m为ab中点, 且ap=, am=1,所以在rtaa1p中, a1p=; 在rta1am中, a1m=.从而ae=, af=,所以sin =,所以cos =.故二面角a-a1m-n的余弦值为. (12分)解法二: 设a1a=1. 如图, 过a1作a1e平行于b1c1, 以a1为坐标原点, 分别以, , 的方向为x轴, y轴, z轴的正方向, 建立空间直角坐标系o-xyz(点o与点a1重合).则a1(0,0, 0), a(0,0, 1).因为p为ad的中点, 所以m, n分别为ab, ac的中点,故m, n,所以=, =(0,0, 1), =(, 0,0).设平面aa1m的一个法向量为n1=(x1, y1, z1), 则即故有从而取x1=1, 则y1=-, 所以n1=(1, -, 0).设平面a1mn的一个法向量为n2=(x2, y2, z2), 则即故有从而取y2=2, 则z2=-1, 所以n2=(0,2, -1).设二面角a-a1m-n的平面角为, 又为锐角,则cos =.故二面角a-a1m-n的余弦值为. (12分)11.12.(2013湖南，19,12分)如图, 在直棱柱abcd-a1b1c1d1中, adbc, bad=90, acbd, bc=1, ad=aa1=3.() 证明: acb1d;() 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值.答案 12.解法一: () 如图1, 因为bb1平面abcd, ac平面abcd, 所以acbb1.又acbd, 所以ac平面bb1d, 而b1d平面bb1d, 所以acb1d.图1() 因为b1c1ad, 所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为).如图1, 连结a1d. 因为棱柱abcd-a1b1c1d1是直棱柱, 且b1a1d1=bad=90, 所以a1b1平面add1a1, 从而a1b1ad1. 又ad=aa1=3, 所以四边形add1a1是正方形, 于是a1dad1. 故ad1平面a1b1d, 于是ad1b1d.由() 知, acb1d, 所以b1d平面acd1, 故adb1=90-.在直角梯形abcd中, 因为acbd, 所以bac=adb. 从而rtabcrtdab, 故=, 即ab=.连结ab1. 易知ab1d是直角三角形, 且b1d2=b+bd2=b+ab2+ad2=21, 即b1d=.在rtab1d中, cosadb1=,即cos(90-) =. 从而sin =.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.解法二: () 易知, ab, ad, aa1两两垂直. 如图2, 以a为坐标原点, ab, ad, aa1所在直线分别为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系. 设ab=t, 则相关各点的坐标为a(0,0, 0), b(t, 0,0), b1(t, 0,3), c(t, 1,0), c1(t, 1,3), d(0,3, 0), d1(0,3, 3).图2从而=(-t, 3, -3), =(t, 1,0), =(-t, 3,0).因为acbd, 所以=-t2+3+0=0, 解得t=或t=-(舍去).于是=(-, 3, -3), =(, 1,0).因为=-3+3+0=0, 所以, 即acb1d.() 由() 知, =(0,3, 3), =(, 1,0), =(0,1, 0).设n=(x, y, z) 是平面acd1的一个法向量,则即令x=1, 则n=(1, -, ).设直线b1c1与平面acd1所成角为, 则sin =|cos |=.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.12.13.（2013陕西，18,12分）如图, 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o为底面中心, a1o平面abcd, ab=aa1=.() 证明: a1c平面bb1d1d;() 求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小.答案 13.() 解法一: 由题设易知oa, ob, oa1两两垂直, 以o为原点建立空间直角坐标系, 如图.ab=aa1=,oa=ob=oa1=1,a(1,0, 0), b(0,1, 0), c(-1,0, 0), d(0, -1,0), a1(0,0, 1).由=, 易得b1(-1,1, 1).=(-1,0, -1), =(0, -2,0), =(-1,0, 1),=0, =0,a1cbd, a1cbb1,a1c平面bb1d1d.解法二: a1o平面abcd, a1obd.又底面abcd是正方形,bdac, bd平面a1oc, bda1c.又oa1是ac的中垂线,a1a=a1c=, 且ac=2, ac2=a+a1c2,aa1c是直角三角形, aa1a1c.又bb1aa1, a1cbb1, a1c平面bb1d1d.() 设平面ocb1的法向量n=(x, y, z).=(-1,0, 0), =(-1,1, 1),取n=(0,1, -1),由() 知, =(-1,0, -1) 是平面bb1d1d的法向量,cos =|cos |=.又0, =.13.14.（2013江苏，22,10分）如图, 在直三棱柱a1b1c1-abc中, abac, ab=ac=2, a1a=4, 点d是bc的中点.(1) 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值;(2) 求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值.答案 14.(1) 以a为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz, 则a(0,0, 0), b(2,0, 0), c(0,2, 0), d(1,1, 0), a1(0,0, 4), c1(0,2, 4), 所以=(2,0, -4), =(1, -1, -4).因为cos =,所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2) 设平面adc1的法向量为n1=(x, y, z), 因为=(1,1, 0), =(0,2, 4), 所以n1=0, n1=0, 即x+y=0且y+2z=0, 取z=1, 得x=2, y=-2, 所以n1=(2, -2,1) 是平面adc1的一个法向量. 取平面aa1b的一个法向量为n2=(0,1, 0), 设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为.由|cos |=, 得sin =.因此, 平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为.14.15.（2013辽宁，18,12分）如图, ab是圆的直径, pa垂直圆所在的平面, c是圆上的点.() 求证: 平面pac平面pbc;() 若ab=2, ac=1, pa=1, 求二面角c-pb-a的余弦值.答案 15.() 证明: 由ab是圆的直径, 得acbc,由pa平面abc, bc平面abc, 得pabc.又paac=a, pa平面pac, ac平面pac,所以bc平面pac.因为bc平面pbc.所以平面pbc平面pac. (6分)() 解法一: 过c作cmap, 则cm平面abc.如图, 以点c为坐标原点. 分别以直线cb, ca, cm为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系.因为ab=2, ac=1, 所以bc=.因为pa=1, 所以a(0,1, 0), b(, 0,0), p(0,1, 1),故=(, 0,0), =(0,1, 1).设平面bcp的法向量为n1=(x, y, z).则所以不妨令y=1, 则n1=(0,1, -1).因为=(0,0, 1), =(, -1,0),设平面abp的法向量为n2=(x, y, z),则所以不妨令x=1, 则n2=(1, , 0).于是cos =,所以由题意可知二面角c-pb-a的余弦值为. (12分)解法二: 过c作cmab于m,因为pa平面abc, cm平面abc,所以pacm,故cm平面pab.过m作mnpb于n, 连结nc,由三垂线定理得cnpb.所以cnm为二面角c-pb-a的平面角.在rtabc中, 由ab=2, ac=1, 得bc=, cm=,bm=.在rtpab中, 由ab=2, pa=1, 得pb=.因为rtbnmrtbap,所以=, 故mn=.又在rtcnm中, cn=, 故coscnm=.所以二面角c-pb-a的余弦值为. (12分)15.16.（2013北京, 17,14分）如图, 在三棱柱abc-a1b1c1中, aa1c1c是边长为4的正方形, 平面abc平面aa1c1c, ab=3, bc=5.() 求证: aa1平面abc;() 求二面角a1-bc1-b1的余弦值;() 证明: 在线段bc1上存在点d, 使得ada1b. 并求的值.答案 16.() 因为aa1c1c为正方形, 所以aa1ac.因为平面abc平面aa1c1c, 且aa1垂直于这两个平面的交线ac, 所以aa1平面abc.() 由() 知aa1ac, aa1ab.由题知ab=3, bc=5,