【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第六章数列6．2等差数列及其前n项和教学案 新人教B版.doc

6.2等差数列及其前n项和1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示，定义的表达式为_(2)等差中项：如果a，a，b成等差数列，那么_叫做a与b的等差中项且_(3)通项公式：如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an_.2等差数列的前n项和已知条件首项a1，末项an首项a1和公差d选用公式snsnna1d3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则_(3)若an，bn是等差数列，则panqbn是_(4)若an是等差数列，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)组成公差为_的等差数列(5)sn，s2nsn，s3ns2n组成新的_(6)若项数为2n(nn*)，则s2nn(anan1)(an，an1为中间两项)，且s偶s奇_，.若项数为2n1(nn*)，则s2n1(2n1)an(an为中间项)，且s奇s偶_，_.(7)关于等差数列的规律等差数列an中，若anm，amn(mn)，则amn0.等差数列an中，若snm，smn(mn)，则smn(mn)等差数列an中，若snsm(mn)，则smn0.若an与bn均为等差数列，且前n项和分别为sn与sn，则.1在等差数列an中，a1a24，a7a828，则数列的通项公式an为()a2nb2n1c2n1d2n22等差数列an的前n项和为sn，若a21，a33，则s4等于()a12b10c8d63若ab，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于()a.b.c.d.4设sn是等差数列an的前n项和，已知a23，s11121，则s7_.5已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_.一、等差数列的判定与证明【例1】 已知数列an的通项公式anpn2qn(p，qr，且p，q为常数)(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列方法提炼等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nn*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证snan2bn.提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断请做演练巩固提升4二、等差数列的基本量的计算【例2】 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和sn满足s5s6150.(1)若s55，求s6及a1；(2)求d的取值范围方法提炼(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法请做演练巩固提升2三、等差数列性质及最值问题【例31】(1)设等差数列的前n项和为sn，已知前6项和为36，sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n及a9a10；(2)等差数列an，bn的前n项和分别为sn，tn，且，求的值【例32】已知an为等差数列，若1，且它的前n项和sn有最大值，那么当sn取得最小正值时，n等于多少？方法提炼1解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键2在等差数列an中，有关sn的最值问题：(1)a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm.(2)当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和snna1dn2n，sn可看成关于n的二次函数且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题请做演练巩固提升1,3等差数列主观题的规范解答【典例】 (12分)(2012广州模拟)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为sn.(1)求an及sn；(2)令bn(nn)，求数列bn的前n项和tn.规范解答：(1)设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有解得(3分)所以an32(n1)2n1，sn3n2n22n.(6分)(2)由(1)知an2n1，所以bn，(9分)所以tn，(11分)即数列bn的前n项和tn.(12分)答题指导：1在解答本题时有两点容易造成失分：(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；(2)在求解数列bn的前n项和时，不能熟练准确地利用裂项方法2解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对通项公式与前n项和公式记忆错误；(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项1(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()a12 b16 c20 d242(2012福建高考)数列an的通项公式anncos，其前n项和为sn，则s2 012等于()a1 006 b2 012 c503 d03设等差数列an的前n项和为sn，已知s150，s160，中最大的是()a b c d4在数列an中，a11，an12an2n.设bn，证明：数列bn是等差数列5已知等差数列an的前n项和为sn，且a35，s15225.(1)求数列an的通项an；(2)设bn2an2n，求数列bn的前n项和tn.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)2同一个常数公差danan1d(n2)(2)a2aab(3)a1(n1)d3(2)akalaman(3)等差数列(4)md(5)等差数列(6)ndan基础自测1c解析：由已知得：(a7a8)(a1a2)12d24，d2.a1a1d4.a11.ana1(n1)d1(n1)22n1.2c解析：由题意d2，a11，s44a128.故选c.3c解析：ba3d1，且ba4d2，.449解析：由s1111a6121，则a611.又a23，则a2a6a1a714，s749.560解析：s10，s20s10，s30s20成等差数列，2(s20s10)s10s30s20.4010s3030.s3060.考点探究突破【例1】解：(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0.故当p0时，数列an是等差数列(2)证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq.而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，an1an是等差数列【例2】 解：(1)由题意知s63，a6s6s58.所以解得a17，所以s63，a17.(2)方法一：s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二：s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.d28.故d的取值范围为d2或d2.【例31】 解：(1)由题意可知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.又sn324，18n324.n18.a1a1836.a9a10a1a1836.(2)，.s1515a8，t1515b8，.【例32】 解：由已知得，an是首项为正，公差为负的递减等差数列，由1得a10a110且a100，a110，s2010(a10a11)0，而s1919a100，sn取最小正值时n19.演练巩固提升1b解析：由等差数列的性质知，a2a10a4a816，故选b.2a解析：函数ycos的周期t4，可分四组求和：a1a5a2 0090，a2a6a2 010262 0105031 006，a3a7a2 0110，a4a8a2 012482 0125031