三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件.pptVIP

5 2等差数列及其前n项和 1 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 定义的表达式为an 1 an d n n 2 若a a b成等差数列 则a叫做a与b的等差中项 且a 3 等差数列的通项公式为 或 an a1 n 1 d an am n m d 4 等差数列的前n项和公式为sn 或sn na1 d nan d n2 n c c c 5 等差数列的通项是关于自然数n的一次函数 d 0 n an 是直线上的一群孤立的点 an an b a b是常数 是 an 成等差数列的充要条件 6 等差数列 an 的首项为a1 公差为d 若其前n项之和可以写成sn an2 bn 则a b a1 当d 0时 它表示定义域为n 或 1 2 n 的二次函数 所以 n sn 是 的抛物线y ax2 bx上的一些孤立的点 过原点 7 等差数列的性质 1 m n p q n 若 则am an ap aq的关系为am an ap aq 特别地 a1 an a2 an 1 2 若 an 和 bn 均是等差数列 则 man kbn 仍为等差数列 m k为常数 3 若 an 是公差为d的等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为md的等差数列 4 等差数列中依次k项和成等差数列 即sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 且公差为k2d d是原数列公差 5 若 an 是首项为a1 公差为d的等差数列 则也是等差数列 首项为a1 m n p q 公差为 6 若 an 是等差数列 其前n项和为sn 则an 7 若 an 与 bn 均为等差数列 且前n项和分别为sn与s n 则 8 项数为偶数2n的等差数列 an 有s2n n a1 a2n n an an 1 an与an 1为中间的两项 s偶 s奇 nd s奇 s偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 9 项数为奇数2n 1的等差数列 an 有 c c s2n 1 2n 1 an an为中间项 s奇 s偶 an s奇 s偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 10 等差数列的单调性d 0 an 为递增数列 sn有最小值 d 0 an 为递减数列 sn有最大值 d 0 an 为常数列 11 等差数列的几个有用结论a 等差数列 an 中 若an m am n m n 则am n 0 b 等差数列 an 中 若sn m sm n m n 则sm n m n c 等差数列 an 中 若sn sm m n 则sm n 0 1 设sn为等差数列 an 的前n项和 s8 4a3 a7 2 则a9 a 6b 4c 2d 2答案as8 4a3 a7 2 所以a9 6 c 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若2a9 4 a13 则s9的值等于 a 27b 36c 45d 54答案b由2a9 4 a13 得a5 a13 4 a13 得a5 4 故s9 9 9a5 36 c 3 等差数列 an 的公差d 0 且 则数列 an 的前n项和sn取得最大值时的项数n是 a 9b 10c 10和11d 11和12答案c由d 0 得a1 a21 又 所以a1 a21 0 所以a11 0 故选c c 4 数列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 则数列 an 的前12项和等于 a 76b 78c 80d 82答案b an 1 1 nan 2n 1 a2 a1 1 a3 a2 3 a4 a3 5 a5 a4 7 a6 a5 9 a7 a6 11 a11 a10 19 a12 a11 21 a1 a3 2 a4 a2 8 a12 a10 40 从第一项开始 依次取2个相邻奇数项的和都等于2 从第二项开始 依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项 16为公差的等差数列 s12 a1 a2 a12 a1 a3 a5 a7 a9 a11 a2 a4 a6 a8 a10 a12 3 2 8 24 40 78 故选b c 5 记等差数列 an 的前n项和为sn 已知a2 a4 6 s4 10 则a10 答案10解析由s4 4 10 得a1 a4 5 又a2 a4 6 d a2 a1 1 且a3 3 a10 a3 7d 10 c 6 已知正项数列 an 满足a1 an 1 则数列 an 的通项公式为 答案an 解析 an 1 即 n 1 n an c 7 已知等差数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 若 则 答案解析 an 与 bn 都是等差数列 且易知其公差均不为0 其通项公式均为关于n的一次函数 又 可设an 3n 1 k bn 2n 1 k 则 c 等差数列的判断与证明典例1 2015浙江模拟评估测试卷二 19 14分 已知数列 an 的前n项和为sn sn an 3n 1 n n 1 求证为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn an 问是否存在正整数n0 对于任意k k n 总有bk 成立 解析 1 由sn an 3n 1 得n 2时 sn 1 an 1 3n 则n 2时 an sn sn 1 an 3n 1 an 1 3n 得an 3an 1 4 3n n 2 从而有n 2时 4 即 4 由a1 s1 a1 9 得a1 18 则 6 数列是首项为 6 公差为 4的等差数列 6 4 n 1 得an 2 2n 1 3n 2 存在 bn an 2 2n 2015 3n 由题意可知为数列 bn 的最大项 bn 1 bn 2 2n 2013 3n 1 2 2n 2015 3n 8 1006 n 3n 显然 当nbn 当n 1006时 bn 1 bn 当n 1006时 bn 1 bn 所以b1006或b1007是这个数列的最大项 故n0 1006或n0 1007 1 证明 an 为等差数列的方法 1 用定义证明 an an 1 d d为常数 n 2 an 为等差数列 2 用等差中项证明 2an 1 an an 2 an 为等差数列 3 通项法 an为n的一次函数 an 为等差数列 4 前n项和法 sn an2 bn a b为常数 an 为等差数列 2 用定义证明一个数列是等差数列时 常采用的两个式子为an 1 an d和an an 1 d n 2 但它们的意义不同 后者必须加上 n 2 否则n 1时 a0无意义 1 1 2015长春三模 已知数列 an 中 a1 1 其前n项的和为sn 且满足an n 2 1 求证 数列是等差数列 2 证明 当n 2时 s1 s2 s3 sn 证明 1 当n 2时 sn sn 1 sn 1 sn 2snsn 1 2 从而是以1 为首项 2为公差的等差数列 2 由 1 可知 n 1 2 2n 1 sn 当n 2时 sn 从而s1 s2 s3 sn 1 1 c 1 2 2015金丽衢二模 20 14分 在单调递增数列 an 中 a1 2 a2 4 且a2n 1 a2n a2n 1成等差数列 a2n a2n 1 a2n 2成等比数列 n 1 2 3 1 i 求证 数列 为等差数列 ii 求数列 an 的通项公式 2 设数列的前n项和为sn 证明 sn n n 解析 1 i 证明 因为数列 an 为单调递增数列 a1 2 0 所以an 0 n n 由题意得2a2n a2n 1 a2n 1 a2na2n 2 于是2a2n 化简得2 所以数列 为等差数列 ii a3 2a2 a1 6 a4 9 所以数列 的首项为 2 公差为d 1 所以 n 1 从而a2n n 1 2 结合 a2n 2a2n 可得a2n 1 n n 1 因此 当n为偶数时 an n 2 2 当n为奇数时 an 2 证明 数列 an 的通项公式为an 1 1 n 1 1 1 n n2 n 因为an n2 n n2 n 1 4 所以sn 4 4 所以sn n n 等差数列的基本运算典例2 1 2014福建 3 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 2 2015浙江 10 6分 已知 an 是等差数列 公差d不为零 若a2 a3 a7成等比数列 且2a1 a2 1 则a1 d 答案 1 c 2 1解析 1 设数列 an 的公差为d s3 3a2 12 a2 4 a1 2 d a2 a1 4 2 2 c111 a6 a1 5d 12 故选c 2 a2 a3 a7成等比数列 a2a7 即 a1 2d 2 a1 d a1 6d 解得d a1 2a1 a2 1 3a1 d 1 由 可得a1 d 1 1 等差数列的通项公式an a1 n 1 d及前n项和公式sn na1 d共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了方程的思想 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列 an 的两个基本量 用它们表示已知量和未知量是常用方法 2 1 2015金华十校联考文 6 5分 已知sn表示等差数列 an 的前n项和 且 那么 a b c d 答案b解析设等差数列 an 的公差为d 则 故a1 3d 则 故选b c 2 2 2013浙江 19 14分 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求d an 2 若d 0 求 a1 a2 a3 an 解析 1 由题意得5a3 a1 2a2 2 2 即d2 3d 4 0 故d 1或d 4 所以an n 11 n n 或an 4n 6 n n 2 设数列 an 的前n项和为sn 因为d 0 所以由 1 得d 1 an n 11 则当n 11时 a1 a2 a3 an sn n2 n 当n 12时 a1 a2 a3 an sn 2s11 n2 n 110 c 综上所述 a1 a2 a3 an 等差数列的性质典例3 2015浙江模拟训练冲刺卷一 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若2a9 6 a12 则s11 a 66b 60c 54d 27答案a解析由2a9 6 a12 得a6 a12 6 a12 得a6 6 故s11 11 11a6 66 3 1 2013课标全国 7 5分 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 c 解析解法一 sm 1 2 sm 0 sm 1 3 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 公差d am 1 am 1 由sn na1 d na1 得由 得a1 代入 可得m 5 解法二 数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 数列也为等差数列 即 0 解得m 5 经检验为原方程的解 故选 答案c c 3 2 2015浙江冲刺卷四 2 已知等差数列 an 共有11项 其中奇数项之和为30 则偶数项之和为 a 10b 15c 20d 25答案d解析奇数项有6项 其和为 6 30 即6a6 30 得a6 5 a2 a4 a6 a8 a10 5a6 25 c 等差数列前n项和的最值问题典例4等差数列 an 中 设sn为其前n项和 且a1 0 s3 s11 则当n为多少时 sn最大 解析解法一 由s3 s11得3a1 d 11a1 d 则d a1 从而sn n2 n n 7 2 a1 又a1 0 所以 0 故当n 7时 sn最大 解法二 sn an2 bn是关于n的二次函数 由s3 s11 可知sn an2 bn的图象关于n 7对称 由解法一可知a 0 故当n 7时 sn最大 c 解法三 由解法一可知 d a1 要使sn最大 则有即解得6 5 n 7 5 故当n 7时 sn最大 解法四 由s3 s11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 又由a1 0 s3 s11可知d0 a8 0 所以当n 7时 sn最大 等差数列前n项和最值问题的常用处理方法有 1 利用等差数列前n项和sn an2 bn a 0 为二次函数 根据二次函数的性质处理 2 n sn 是过原点的抛物线y ax2 bx上的一些孤立的点 利用图象处理 3 通过项an的符号变化进行判断 处理等差数列前n项和最值问题既要利用好其二次函数 的特征 又要注意它是特殊的二次函数 定义在正整数集或其子集上 4