【考前三个月】（江苏专用）高考数学 数学思想方法篇 专题2 再谈数形结合.docVIP

【考前三个月】（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题2 再谈数形结合 方法精要数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的题型一数形结合在方程根的个数中的应用例1方程sin x的解的个数是_破题切入点把方程根的问题转化为两个函数ysin x和y的图象的交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个数也就明确了熟练掌握函数图象，并准确作图是应用数形结合思想解决问题的关键答案7解析在同一平面直角坐标系中画出ysin x和y的图象，如下图观察图象可知y1sin x和y2的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin x有7个解题型二数形结合在函数中的应用例2已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围破题切入点解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)；单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(3,1)题型三数形结合在不等式中的应用例3已知实数x，y满足则的最大值为_破题切入点先根据题意，画出可行域，再根据目标式的几何意义求解答案2解析画出不等式组对应的平面区域为图中的四边形abcd，表示的平面区域上的点p(x，y)与原点的连线的斜率，显然oa的斜率最大题型四数形结合在解析几何中的应用例4已知p是直线l：3x4y80上的动点，pa、pb是圆x2y22x2y10的两条切线，a、b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值破题切入点在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值解从运动的观点看问题，当动点p沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形pac的面积srtpacpaacpa越来越大，从而s四边形pacb也越来越大；当点p从左上、右下两个方向向中间运动时，s四边形pacb变小，显然，当点p到达一个最特殊的位置，即cp垂直直线l时，s四边形pacb应有唯一的最小值，此时pc3，从而pa2.所以(s四边形pacb)min 2paac2.总结提高数形结合的题目涉及函数、不等式、集合、直线与圆等，但解决问题的基本思想离不开图象，“见数想图，以形助数”，探究思路、简化计算数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野实现数形结合，通常有以下途径：实数与数轴上的点的对应关系；有序数组与坐标平面(空间)上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义1函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为_答案2解析画出两个函数f(x)，g(x)的图象，由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.2若f(x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是_答案x|x3或0x0时，f(x)0，此时0x3；当x0，此时x3.综上x3或0x3.3若方程xk有且只有一个解，则k的取值范围是_答案k或k1,1)解析令yxk，令y，则x2y21(y0)作出图象如图：而yxk中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解直线与上述半圆只有一个公共点k或1k1.4已知点p(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是_答案2,16解析画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为qa216.d222.取值范围是2,165已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_答案解析如图，设oa，ob，oc，则cac，cbc.由题意知cc，o、a、c、b四点共圆当oc为圆的直径时，|c|最大，此时，|o|.6已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是_答案9解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点7若过点a(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案，解析设直线方程为yk(x4)，即kxy4k0，直线l与曲线(x2)2y21有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径d|1，得4k2k21，k2.所以k.8设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_答案3解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函数yf(x)及yx的函数图象如图所示，由图可得交点有3个9已知直线l：xy40与圆c：(x1)2(y1)22，则c上各点到l的距离的最小值为_答案解析如图可知：过圆心作直线l：xy40的垂线，则ad长即为所求；c：(x1)2(y1)22的圆心为c(1,1)，半径为.点c到直线l：xy40的距离为d2，adcdac2，故c上各点到l的距离的最小值为.10已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_答案(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点11设关于的方程cos sin a0在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数a的取值范围；(2)求的值解(1)原方程可化为sin ()，作出函数ysin (x)(x(0,2)的图象由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是即2a或a2.(2)由图知：当a2，即时，直线y与三角函数ysin(x)的图象交于c、d两点，它们中点的横坐标为，所以，所以.当2a，即时，直线y与三角函数ysin(x)的图象有两交点a、b，由对称性知，所以，综上所述，或.12设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4,0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取