【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 专题三 方案设计与动手操作型问题教学案.doc

专题三方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程统计测量型方案设计【例1】某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分解：(1)方案1最后得分：(3.27.07.83838.49.8)7.7；方案2最后得分：(7.07.83838.4)8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较1(2012宜宾)如图，飞机沿水平方向(a，b两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶m到飞行路线ab的距离mn.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方n处才测飞行距离)，请设计一个求距离mn的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离mn的步骤解：(1)如图，测出飞机在a处对山顶的俯角为，测出飞机在b处对山顶的俯角为，测出ab的距离为d，连接am，bm(2)第一步骤：在rtamn中，tan，an，第二步骤：在rtbmn中，tan，bn，其中：andbn，解得：mn，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】(2013茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有a，b两个品种的树苗出售，已知a种比b种每株多2元，买1株a种树苗和2株b种树苗共需20元(1)问a，b两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买a，b两种树苗共360株，且a种树苗数量不少于b种数量的一半，请求出费用最省的购买方案解：(1)设a种树苗每株x元，b种树苗每株y元，由题意，得，解得：，答：a种树苗每株8元，b种树苗每株6元(2)设a种树苗购买a株，则b种树苗购买(360a)株，共需要的费用为w元，由题意，得，由，得a120.由，得w2a2160.k20，w随a的增大而增大，a120时，w最小2400，b种树苗为：360120240棵最省的购买方案是：a种树苗购买120棵，b种树苗购买240棵【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点2(2014丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买a，b两种型号的污水处理设备共10台已知用90万元购买a型号的污水处理设备的台数与用75万元购买b型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备a型b型价格(万元/台)mm3月处理污水量(吨/台)220180(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数解：(1)由90万元购买a型号的污水处理设备的台数与用75万元购买b型号的污水处理设备的台数相同，即可得：，解得m18，经检验m18是原方程的解，即m18(2)设买a型污水处理设备x台，则b型(10x)台，根据题意得：18x15(10x)165，解得x5，由于x是整数，则有6种方案，当x0时，y10，月处理污水量为1800吨，当x1时，y9，月处理污水量为22018091840吨，当x2时，y8，月处理污水量为220218081880吨，当x3时，y7，月处理污水量为220318071920吨，当x4时，y6，月处理污水量为220418061960吨，当x5时，y5，月处理污水量为220518052000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨图形类方案设计【例3】(2014济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告名称四等分圆的面积方案方案一方案二方案三选用的工具带刻度的三角板带刻度三角板、量角器、圆规带刻度三角板、圆规.画出示意图简述设计方案作o两条互相垂直的直径ab，cd，将o的面积分成相等的四份.(1)以点o为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大o上依次取三等分点a，b，c；(3)连接oa，ob，oc.则小圆o与三等份圆环把o的面积四等分(4)作o的一条直径ab；(5)分别以oa，ob的中点为圆心，以3个单位长度为半径作o1，o2；则o1，o2和o中剩余的两部分把o的面积四等分.指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键3认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征特征1：_都是轴对称图形_；特征2：_都是中心对称图形_(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个图形的分割与拼接【例4】(2014广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有平行四边形abcd的邻边长分别为1，a(a1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值解：如图，a4，如图，a，如图，a，如图，a，【点评】本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形abcd将平行四边形分割是解题关键4abc是一张等腰直角三角形纸板，c90，acbc2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由(2)图中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的ade和bdf中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2(如图)，则s2_；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为s3(如图)；继续操作下去则第10次剪取时，s10_(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和解：(1)如图甲，由题意得aedeec，即ec1，s正方形cfde1.如图乙，设mnx，则由题意，得ammqpnnbmnx，3x2，解得x，s正方形pnmq()2.1，甲种剪法所得的正方形的面积更大；(2)由题意可得，s1111，s22，s322，s423sn.故s2，s10；(3)结合(2)中求得的规律：sn，则第10次剪取后余下的所有小三角形的面积和为s9s10s10.图形的平移、旋转与翻折【例5】(2014江西)如图，边长为4的正方形abcd中，点e在ab边上(不与点a，b重合)，点f在bc边上(不与点b，c重合)第一次操作：将线段ef绕点f顺时针旋转，当点e落在正方形上时，记为点g；第二次操作：将线段fg绕点g顺时针旋转，当点f落在正方形上时，记为点h；依此操作下去(1)图中的三角形efd是经过两次操作后得到的，其形状为_等边三角形_，求此时线段ef的长；(2)若经过三次操作可得到四边形efgh；请判断四边形efgh的形状为_正方形_，此时ae与bf的数量关系是_aebf_；以中的结论为前提，设ae的长为x，四边形efgh的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围解：(1)等边三角形四边形abcd是正方形，adcdbcab，abc90.edfd，adecdf.(hl)aecf，bebf.bef是等腰直角三角形设be的长为x，则efx，ae4x.在rtaed中，ae2ad2de2，deef，(4x)242(x)2解得x144，x244(不合题意，舍去)efx(44)44(2)四边形efgh为正方形；aebf.aex，be4x.在rtbef中，ef2bf2be2，aebf，yef2(4x)2x2168xx2x22x28x16，点e不与点a，b重合，点f不与点b，c重合，0x4.y2x28x162(x24x4)82(x2)28，当x2时有最小值8，当x0或4时，有最大值16，y的取值范围是8y16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键5(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片abc和dec重合放置，其中c90，be30.(1)操作发现如图，固定abc，使dec绕点c旋转，当点d恰好落在ab边上时，填空：线段de与ac的位置关系是_deac_；设bdc的面积为s1，aec的面积为s2，则s1与s2的数量关系是_s1s2_(2)猜想论证当dec绕点c旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中s1与s2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了bdc和aec中bc，ce边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知abc60，点d是角平分线上一点，bdcd4，deab交bc于点e(如图)若在射线ba上存在点f，使sdcfsbde，请直接写出相应的bf的长解：(1)dec绕点c旋转，点d恰好落在ab边上，accd，bac90b903060，acd是等边三角形，acd60，又cdebac60，acdcde，deac；b30，c90，cdacab，bdadac，根据等边三角形的性质，acd的边ac，ad上的高相等，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1s2；(2)dec是由abc绕点c旋转得到，bcce，accd，acnbcn90，dcmbcn1809090，acndcm，在acn和dcm中，acndcm(aas)，andm，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1s2；(3)如图，过点d作df1be，易求四边形bedf1是菱形，所以bedf1，且be，df1上的高相等，此时sdcfsbde，过点d作df2bd，abc60，f1df2abc60，df1f2是等边三角形，df1df2，bdcd，abc60，点d是角平分线上一点，dbcdcb6030，cdf118030150，cdf236015060150，cdf1cdf2，在cdf1和cdf2中，cdf1cdf2(sas)，点f2也是所求的点，abc60，点d是角平分线上一点，deab，dbcbdeabd6030，又bd4，be4cos302，bf1，bf2bf1f1f2，故bf的长为或.立体图形与平面图形之间的相互转化【例6】(2012绍兴)把一边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm.则(402x)2484，解得x131(不合题意，舍去)，x29.剪掉的正方形的边长为9 cm.侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系为：y4(402x)x8x2160x8(x10)2800，x10时，y最大800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800 cm2；(2)在如图