【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 专题二 开放探究型问题教学案.docVIP

专题二开放探究型问题开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性条件开放型问题【例1】已知四边形abcd，abcd，要得出四边形abcd是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当abcd时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形abcd是平行四边形(1)adbc；(2)abcd；(3)ac；(4)bd；(5)ab180【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：两组对边分别平行；一组对边平行且相等；一组对边平行，一组对角相等都能得到平行四边形的结论1(2014巴中)如图，在四边形abcd中，点h是bc的中点，作射线ah，在线段ah及其延长线上分别取点e，f，连结be，cf.(1)请你添加一个条件，使得behcfh，你添加的条件是_ehfh_，并证明(2)在问题(1)中，当bh与eh满足什么关系时，四边形bfce是矩形，请说明理由解：(1)答：添加：ehfh，证明：点h是bc的中点，bhch，在beh和cfh中，behcfh(sas)(2)解：bhch，ehfh，四边形bfce是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，当bheh时，则bcef，平行四边形bfce为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)结论开放型问题【例2】(2014襄阳)如图，a，p，b，c是o上的四个点，apcbpc60，过点a作o的切线交bp的延长线于点d.(1)求证：adpbda；(2)试探究线段pa，pb，pc之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若ad2，pd1，求线段bc的长解：(1)证明：作o的直径ae，连接pe，ae是o的直径，ad是o的切线，daeape90，padpaepaee90，pade，pbae，padpba，padpba，adpbda，adpbda(2)papbpc，证明：在线段pc上截取pfpb，连接bf，pfpb，bpc60，pbf是等边三角形，pbbf，bfp60，bfc180pfb120，bpaapcbpc120，bpabfc，在bpa和bfc中，bpabfc(aas)，pafc，abbc，papbpffcpc(3)解：adpbda，ad2，pd1bd4，ab2ap，bpbddp3，apd180bpa60，apdapc，pade，pcae，padpca，adpcap，ap2cppd，ap2(3ap)1，解得：ap或ap(舍去)，bcab2ap1.【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力2(2013杭州)(1)先求解下列两题：如图，点b，d在射线am上，点c，e在射线an上，且abbccdde，已知edm84，求a的度数；如图，在直角坐标系中，点a在y轴正半轴上，acx轴，点b，c的横坐标都是3，且bc2，点d在ac上，且横坐标为1，若反比例函数y(x0)的图象经过点b，d，求k的值(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出解：(1)abbccdde，abca，cbdbdc，ecdced，根据三角形的外角性质，abcacbd，acdbecd，acededm，又edm84，a3a84，解得，a21；点b在反比例函数y图象上，点b，c的横坐标都是3，点b(3，)，bc2，点c(3，2)，acx轴，点d在ac上，且横坐标为1，d(1，2)，点d也在反比例函数图象上，2k，解得，k3；(2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法存在开放型问题【例3】(2014龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形abcd的顶点a在y轴正半轴上，顶点b在x轴正半轴上，oa，ob的长分别是一元二次方程x27x120的两个根(oaob)(1)求点d的坐标(2)求直线bc的解析式(3)在直线bc上是否存在点p，使pcd为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，说明理由解：(1)x27x120，解得x13，x24，oaob，oa4，ob3，过d作dey于点e，正方形abcd，adab，dab90，daeoab90，abooab90，abodae，deae，aed90aob，在dae和abo中，daeabo(aas)，deoa4，aeob3，oe7，d(4，7)(2)过点c作cmx轴于点m，同上可证得bcmabo，cmob3，bmoa4，om7，c(7，3)，设直线bc的解析式为ykxb(k0，k，b为常数)，代入b(3，0)，c(7，3)得，解得，yx(3)存在点p与点b重合时，p1(3，0)，点p与点b关于点c对称时，p2(11，6)【点评】本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性3已知一次函数yx4和反比例函数y(k0)(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为a，b，试问aob是锐角还是钝角？为什么？解：(1)解两个函数关系式构成的方程组由此可求得：k4且k0；(2)当0k4时，aob90，是锐角；当k90，是钝角综合开放型问题【例4】(2012南京)看图说故事请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函数关系式，要求：指出变量x和y的含义；利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量解：该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km)与他所用的时间x(单位： min)的关系小明以400 m/ min的速度匀速骑了5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/ min的速度匀速骑车回出发地(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程4已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是4或2或16(只需写出一个)试题在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数，abc，d，e是两个连续奇数，de，且满足abcde，例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：错解剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画