【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）B单元函数与导数（含解析）.doc

备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第四期 第四期 b b 单元函数与导数 含解析 单元函数与导数 含解析 目录 b1b1 函数及其表示函数及其表示 1 1 b2b2 反函数反函数 6 6 b3b3 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 6 6 b4b4 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 9 9 b5b5 二次函数二次函数 1313 b6b6 指数与指数函数指数与指数函数 1313 b7b7 对数与对数函数对数与对数函数 1414 b8b8 幂函数与函数的图象幂函数与函数的图象 1515 b9b9 函数与方程函数与方程 1616 b10b10 函数模型及其运算函数模型及其运算 1919 b11b11 导数及其运算导数及其运算 2222 b12b12 导数的应用导数的应用 2626 b13b13 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 5454 b14b14 单元综合单元综合 5555 b1b1 函数及其表示函数及其表示 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 16 已知数列 的通项公式为 数列的通项公式为 设 n apnan n b 5 2 n n b nnn nnn n bab baa c 若在数列中 则实数的取值范围是 n c n cc 8 8 nnnp 知识点 函数及其表示数列的单调性 b1 d1 答案 解析 解析 由题意可得是中的较小者 an 是递减数列 17 12 n c nn ab bn 是递增数列 因为 所以是的最大者 则 n 1 2 3 7 8 时 8 8 n cc n 8 c n c 递增 n 8 9 10 时 递减 因此 n 1 2 3 7 时 总成立 n c n c 5 2nnp 当 n 7 时 n 9 10 11 时 总成立 当 n 9 时 7 5 2711pp 5 2nnp 成立 p 25 而 若 a8 b8 即 23 p 8 所以 p 16 9 5 29p 8888 cacb 或 则故 若 即 7 5 887 88212cappbp 1216p 88 ab 8 5 82p 所以 p 16 那么 即 8 p 9 p 17 3 88 2cb 899 cca 故 16 p 17 综上 12 p 17 故答案为 12 17 思路点拨 由表达式知是中的较小者 易判断 an 是递减数列 bn 是递增 n c n c nn ab 数列 由 所以是的最大者 则 n 1 2 3 7 8 时 递增 8 8 n cc n 8 c n c n c n 8 9 10 时 递减 进而可知 an 与 bn 的大小关系 且 分两种 n c 8888 cacb 或 情况讨论 当 当 分别解出 p 的范围 再取并集即 8887 caab 时 8889 cbba 时 可 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 12 已知函数 若则的最小值为 ln ex f x ex 22012 201320132013 eee ab f f f 503 22 ab a 6 b 8 c 9 d 12 知识点 函数的性质基本不等式 b1 e6 答案 b 解析 解析 因为 2 lnlnln2 e exex f xf exe exeex 所以 即 由不等式可得 220122012 2013201320132 eee f f f 2 2012 4ab 当且仅当时 等号成立 故选择 b 2 22 8 2 ab ab ab 思路点拨 根据已知函数的特征结合所求 可得 22012 201320132013 eee f f f 即可得 再利用不等式 即可求得 2f xf ex 4ab 2 22 2 ab ab 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 3 已知函数 则 0 2 1 0 2 1 x xx xf x 4 ff a b c d 4 4 1 46 知识点 分段函数 b1 答案 c 解析 解析 因为 所以 所以40 4 1 416 2 f 故选择 c 1 2 416164fff 思路点拨 求解时先从内函数求起 采用由内到外的顺序求得 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 2 已知函数 则 2 1 1 1 x x f x f xx 2 log 5 f a b c d 5 16 5 8 5 4 5 2 知识点 分段函数的函数值 b1 答案 解析 c 解析 2 2log 53 2 log 5 f 22 log 5 2log 52 5 222 4 故选 c 思路点拨 先分析在哪两个整数之间 利用 x 1 时的条件 把其变换到 x 1 的情况 2 log 5 再用 x 12 2 xx 12 2 xx 12 2 f xf x 12 x x 12 2 xx 12 x x 故 f 故 错误 对于 不妨设 x1 x2则有 f x1 12 2 xx 12 2 f xf x f x2 故由增函数的定义得 f x1 f x2 x2 x1 故 正确 由不等式的性质得 x1f x1 x2f x2 故 错误 对于 令 e x1 x2 e2 得 1 12 12 f xf x xx 2 1 ee x0 x1 x2 f x0 f x1 1 不满足 f x0 故 错误 12 12 f xf x xx 思路点拨 利用对数函数的单调性性质求解即可 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 13 函数 则不等式的解集为 2 sincosf xxxxx ln1fxf 知识点 函数的单调性与最值 b3 答案 e 1 e 解析 函数 f x xsinx cosx x2 满足 f x xsin x cos x x 2 xsinx cosx x2 f x 故函数 f x 为偶函数 由于 f x sinx xcosx sinx 2x x 2 cosx 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是增函数 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是减函数 不等式 f lnx f 1 等价于 1 lnx 1 x e 1 e 思路点拨 首先判断函数为偶函数 利用导数求得函数在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 所给的不等式等价于 1 lnx 1 解对数不等式求得 x 的范围 即为 所求 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 13 若函数 是的导函数 则函数的最大 sincosf xxx fx f x 2 f xf x fxfx 值是 知识点 函数的值域 导数的运算 菁 b3 b11 答案 解析 解析 12 sincosf xxx cossinfxxx 2 f xf x fxfx 2 sincoscossinsincosxxxxxx 22 cossin2sin cos1xxxx cos2sin21xx 2sin 21 4 x p 1 的最大值是 故答案为 sin 2 4 x p f x12 12 思路点拨 先计算 然后化简 即可求出的最大 fx f x 2sin 21 4 x p f x 值 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 19 已知函数 2 22f xxaxa 1 若对于任意 恒成立 求实数的取值范围 xr 0f x a 2 若对于任意恒成立 求实数的取值范围 1 1 0 xf x a 3 若对于任意恒成立 求实数的取值范围 2 1 1 220axaxa x 知识点 函数的单调性与最值 b3 答案 1 2 a 3 21a 3 2 3 1x 解析 1 若对于任意 恒成立 需满足xr 0f x 2 44 2 0aa 得 21a 2 对称轴 x a 当 a1 时 a1 舍 min 1 330f xfa 当 a 1 即 a0 2 1 1 220axaxa 2 x 解得 2 2 2120 2120 xx xx 1x 所以 x 的范围 1x 思路点拨 利用函数的单调性求出范围 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 4 下列函数 中既是奇函数又在区间上单调递减的是 1 1 a b c d sinyx 1yx 2 ln 2 x y x 1 22 2 xx y 知识点 函数的奇偶性单调性 b3 b4 答案 c 解析 根据定义可得 既不是奇函数又不是偶函数 是偶函 数 只有与是奇函数 由此可排除 b d 而在区间上单调递增 也可排除 故选 c 思路点拨 先判断奇偶性 再利用单调性求出 b4b4 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 4 若奇函 数f x x r 满足f 3 1 f x 3 f x f 3 则f等于 3 2 a 0 b 1 c d 1 2 1 2 知识点 函数的奇偶性 b4 答案 c 解析 f x 3 f x f 3 令 x 则 f 3 f f 3 3 2 3 2 3 2 即 f f f 3 f 3 2 3 2 3 2 1 2 思路点拨 由 f x 3 f x f 3 且函数 f x 为奇函数 我们令 x 3 2 易得 f 3 2 1 2 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 6 现有四个函数 的图象 部分 如下 sinyxx cosyxx cos yxx 2xyx xxxx x y x y x y x y 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 a b c d 知识点 函数的奇偶性 b4 答案 b 解析 分析函数的解析式 可得 y x sinx 为偶函数 y x cosx 为奇函数 y x cosx 为奇函数 y x 2x为非奇非 偶函数且当 x 0 时 y x cosx 0 恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为 思路点拨 从左到右依次分析四个图象可知 第一个图象关于 y 轴对称 是一个偶函数 第二个图象不关于原点对称 也不关于 y 轴对称 是一个非奇非偶函数 第三 四个图象关 于原点对称 是奇函数 但第四个图象在 y 轴左侧 函数值不大于 0 分析四个函数的解析 后 即可得到函数的性质 进而得到答案 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 17 本小题 满分 14 分 如图 有一个长方形状的敞口玻璃容器 底面是边长为 20的正方形 高为 30 内cmcm 有 20深的溶液 现将此容器倾斜一定角度 图 且倾斜时底面的一条棱始终在桌cm 面上 图 均为容器的纵截面 1 当时 通过计算说明此溶液是否会溢出 0 30 2 现需要倒出不少于 3000的溶液 当等于时 能实现要求吗 通过计算说明理 3 cm 0 60 由 知识点 b4 答案 解析 1 2 解析 思路点拨 1 2 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 8 定义在 r 上的偶函数满足 则 33 11 02 22 fxfxff 且 的值为 1232014ffff a 2b 1c 0d 2 知识点 函数的周期性 b4 答案 b 解析 由 f x 满足 即有 f x 3 f x 33 22 fxf x 由 f x 是定义在 r 上的偶函数 则 f x f x 即有 f x 3 f x 则 f x 是以 3 为周期的函数 由 f 1 1 f 0 2 即 f 2 1 f 3 2 由 f 4 f 1 1 即有 f 1 1 则 f 1 f 2 f 3 f 2014 1 1 2 f 1 0 671 1 1 思路点拨 由 f x 满足 即有 f x 3 f x 由 f x 是定 33 22 fxf x 义在 r 上的偶函数 则 f x f x 即有 f x 3 f x 则 f x 是以 3 为周期的 函数 求出一个周期内的和 即可得到所求的值 数学文卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 14 已知 是定义在 r 上的偶函数 并且当时 则 f x 1 2 f x f x 23x f xx 3 2 f 知识点 函数的奇偶性与周期性 b4 答案 5 2 解析 f x 4 f x 1 2 f x f x 1 2 f x 则函数是周期为 4 的周期函数 f x 是定义在 r 上的偶函数 f f f 4 f 3 2 3 2 3 2 5 2 当 2 x 3 时 f x x f 5 2 5 2 思路点拨 由求出函数的周期是 4 再结合偶函数的性质 把 1 2 f x f x f 转化为 f 代入所给的解析式进行求解 3 2 5 2 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 5 函数 的图像可能是 lnxx y x 知识点 函数的奇偶性 b4 答案 b 解析 根据函数性质的函数为奇函数排除 a c 再代入 x 2 y 0 排除 d 思路点拨 根据函数的奇偶性排除 d 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 4 下列函数 中既是奇函数又在区间上单调递减的是 1 1 a b c d sinyx 1yx 2 ln 2 x y x 1 22 2 xx y 知识点 函数的奇偶性单调性 b3 b4 答案 c 解析 根据定义可得 既不是奇函数又不是偶函数 是偶函 数 只有与是奇函数 由此可排除 b d 而在区间上单调递增 也可排除 故选 c 思路点拨 先判断奇偶性 再利用单调性求出 b5b5 二次函数二次函数 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 13 已知是定义在 r 上 xf 的奇函数 当时 则不等式的解集为 0 x xxxf4 2 xxf 知识点 二次函数的性质 b5 答案 解析 5 0 5 解析 f x 是定义在 r 上的奇函数 f 0 0 设 x 0 则 x 0 f x x2 4x 又 f x x2 4x f x f x x2 4x x 0 当 x 0 时 由 f x x 得 x2 4x x 即 x2 5x 0 解得 x 5 或 x 0 舍去 此时 x 5 当 x 0 时 f 0 0 成立 当 x 0 时 由 f x x 得 x2 4x x 即 x2 5x 0 解得 5 x 0 舍去 此时 5 x 0 综上 5 x 0 或 x 5 故答案为 5 0 5 思路点拨 根据函数的奇偶性求出函数 f x 的表达式 然后解不等式即可 b6b6 指数与指数函数指数与指数函数 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 11 已知 的值为 4 8 23 log 2 3 x yxy 则 知识点 指数与对数的互化 对数的运算 b6 b7 答案答案 解析解析 3 3 解析解析 由得 所以 4 8 23 log 3 x y 242 818 log 3 loglog 323 xy 222 8 2log 3loglog 83 3 xy 思路点拨 由已知条件先把 x y 化成同底的对数 再利用对数的运算法则进行计算 b7b7 对数与对数函数对数与对数函数 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 9 函数 y logax 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点a 若点a在直线 4 0 m 0 n 0 上 则 x m y n m n的最小值为 a 2 b 2 c 1 d 4 2 知识点 对数与对数函数 b7 答案 c 解析 当 x 1 时 y loga1 1 1 函数 y logax 1 a 0 且 a 1 的图象恒过定点 a 1 1 点 a 在直线 4 0 m 0 n 0 上 x m y n 4 m n m n 2 2 2 1 11 mn 1 4 11 mn 1 4 nm mn 1 4 n m m n 当且仅当 m n 时取等号 1 2 思路点拨 利用对数的性质可得 函数 y logax 1 a 0 且 a 1 的图象恒过定点 a 1 1 代入直线 4 0 m 0 n 0 上 可得 4 再利用 乘 1 法 和基 x m y n 11 mn 本不等式的性质即可得出 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 6 设 则 323 log log3 log2abc a b c d abc acb bac bca 知识点 对数与对数函数 b7 答案 a 解析 log3 log2 log2223 b c log2 log22 log33 log3 a b a b c3 思路点拨 利用对数函数 y logax的单调性进行求解 当 a 1 时函数为增函数当 0 a 1 时函数为减函数 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 11 已知 的值为 4 8 23 log 2 3 x yxy 则 知识点 指数与对数的互化 对数的运算 b6 b7 答案答案 解析解析 3 3 解析解析 由得 所以 4 8 23 log 3 x y 242 818 log 3 loglog 323 xy 222 8 2log 3loglog 83 3 xy 思路点拨 由已知条件先把 x y 化成同底的对数 再利用对数的运算法则进行计算 b8b8 幂函数与函数的图象幂函数与函数的图象 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 4 已知函数 若 是 的导函数 则函数 在原点附近的图象大致 2 2cosf xxx fx f x fx 是 a b c d 知识点 导数的计算 函数的图像 b8 b11 答案答案 解析解析 a a 解析解析 因为 所以函数在 r 上单调递增 22sin 22cos0fxxx fxx fx 则选 a 思路点拨 一般判断函数的图像 可结合函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 4 已知函数 若 是 的导函数 则函数 在原点附近的图象大致 2 2cosf xxx fx f x fx 是 知识点 导数的计算 函数的图像 b8 b11 答案答案 解析解析 a a 解析解析 因为 所以函数在 r 上单调递增 22sin 22cos0fxxx fxx fx 则选 a 思路点拨 一般判断函数的图像 可结合函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断 b9b9 函数与方程函数与方程 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 9 已知函数 其中为自然对数的底数 若关于的方程 有且只 0 0 x a e x f x lnx x ex0f f x 有一个实数解 则实数的取值范围为 a a b c d 0 00 1 0 1 0 11 知识点 函数与方程 b9 答案 b 解析 若 a 0 则方程 f f x 0 有无数个实根 不满足条件 若 a 0 若 f f x 0 则 f x 1 x 0 时 f 1 1 x 关于 x 的方程 f f x 0 有且只有一个实数解 故当 x 0 时 a ex 1 无解 即 ex 在 x 0 时无解 1 a 故 0 或 1 故 a 0 0 1 1 a 1 a 思路点拨 若 a 0 则方程 f f x 0 有无数个实根 不满足条件 若 a 0 若 f f x 0 可得当 x 0 时 a ex 1 无解 进而得到实数 a 的取值范围 数学理卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 6 若方程 有实数根 则所有实数根的和可能是 2 4xxm a b c d 246 456 345 468 知识点 函数与方程 b9 答案 d 解析 函数 y x2 4x 由函数 y x2 4x 的图象纵向对折变换所得 如下图所示 由图可得 函数 y x2 4x 的图象关于直线 x 2 对称 则方程 x2 4x m 的实根也关于直线 x 2 对称 当 m 0 时 方程 x2 4x m 无实根 当 m 0 或 m 4 时 方程 x2 4x m 有两个实根 它们的和为 4 当 0 m 4 时 方程 x2 4x m 有四个实根 它们的和为 8 当 m 4 时 方程 x2 4x m 有三个实根 它们的和为 6 思路点拨 函数 y x2 4x 由函数 y x2 4x 的图象纵向对折变换所得 画出函数图象可得函 数 y x2 4x 的图象关于直线 x 2 对称 则方程 x2 4x m 的实根也关于直线 x 2 对称 对 m 的取值分类讨论 最后综合讨论结果 可得答案 数学文卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 9 定义在 r 上的奇函数满足 当x 0 时 f x 2014x log2014x 则方程的实根的个数 xf0 xf 为 a 1 b 2 c 3 d 5 知识点 函数与方程 b9 答案 c 解析 由题意可得 f x 的零点个数即函数 y 2014x的图象和函数 y log2014x 的交点个 数 在同一坐标系下分别画出函数 y 2014x y log2014x 的图象 如图所示 在 0 上 两个图象只有一个交点 即方程 f x 0 只有一个实根 再根据奇函数的性质可得 f 0 0 再根据奇函数的图象的对称性可得 当 x 0 时 两个图象只有一个交点 即方程 f x 0 只有一个实根 综上 在 r 上 函数 f x 零点的个数为 3 思路点拨 f x 零点个数即函数 y 2014x的图象和函数 y log2014x 的交点个数 数形结 合可得在 0 上 两个图象只有一个交点 再根据奇函数的性质可得当 x 0 时 两 个图象只有一个交点 且 f 0 0 综合可得结论 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 10 若函数 满足时 函数 yf xxr 111 1f xf xx 且 2 1f xx 则函数在区间内的零点的个数为 10 1 0 gx x g x x x h xf xg x 5 5 a 6b 7c 8d 9 知识点 函数与方程 b9 答案 c 解析 因为函数满足 所以函数是 周期为 2 的周期函数 又因为时 所以作出函数 的图像 由图知 函数 g x 在区间内的零点的个数为 8 个 思路点拨 根据函数图像的交点个数求出零点个数 第 ii 卷 非选择题 共 100 分 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 7 如果方程 的两个实根一个小于 1 另一个大于 1 那么实数 m 的取值范围是 22 120 xmxm a b c d 2 2 2 0 2 1 0 1 知识点 函数与方程 b9 答案 d 解析 构建函数 f x x2 m 1 x m2 2 根据两个实根一个小于 1 另一个大于 1 可得 f 1 0 f 1 0 从而可求实数 m 的取值范围 解 由题意 构建函数 f x x2 m 1 x m2 2 两个实根一个小于 1 另一个大于 1 f 1 0 f 1 0 0 m 1 思路点拨 本题以方程为载体 考查方程根的讨论 关键是构建函数 用函数思想求解 b10b10 函数模型及其运算函数模型及其运算 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 14 有两个零点 则 mxxxf 2 4 m 知识点 函数的图像 b10 答案 解析 解析 因为有两个零点 即 2 2 2 mxxxf 2 4 有两个根 令 即两个函数的图像有两个交点 结合图像 2 4 xx m 2 1 4yx 2 yx m 可知 故 2 2 2m 求 k 的最大值 10 xkfxx 知识点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 b11 b12 答案 解析 1 f x 在 lna 单调递减 在 lna 上单调递增 2 2 解析 1 函数 f x ex ax 2 的定义域是 r f x ex a 若 a 0 则 f x ex a 0 所以函数 f x ex ax 2 在 上单调递 增 若 a 0 则当 x lna 时 f x ex a 0 当 x lna 时 f x ex a 0 所以 f x 在 lna 单调递减 在 lna 上单调递 增 2 由于 a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 故当 x 0 时 x k f x x 1 0 等价于 k x 0 令 g x 则 g x 由 i 知 函数 h x ex x 2 在 0 上单调递增 而 h 1 0 h 2 0 所以 h x ex x 2 在 0 上存在唯一的零点 故 g x 在 0 上存在唯 一的零点 设此零点为 则有 1 2 当 x 0 时 g x 0 当 x 时 g x 0 所以 g x 在 0 上的最小值为 g 又由 g 0 可得 e 2 所以 g 1 2 3 由于 式等价于 k g 故整数 k 的最大值为 2 思路点拨 1 求函数的单调区间 可先求出函数的导数 由于函数中含有字母 a 故应 按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性 给出单调区间 2 由题设条件结合 i 将不等式 x k f x x 1 0 在 x 0 时成立转化为 k x 0 成 立 由此问题转化为求 g x 在 x 0 上的最小值问题 求导 确定出函数的最 小值 即可得出 k 的最大值 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 13 若函数 是的导函数 则函数的最大 sincosf xxx fx f x 2 f xf x fxfx 值是 知识点 函数的值域 导数的运算 菁 b3 b11 答案 解析 解析 12 sincosf xxx cossinfxxx 2 f xf x fxfx 2 sincoscossinsincosxxxxxx 22 cossin2sin cos1xxxx cos2sin21xx 2sin 21 4 x p 1 的最大值是 故答案为 sin 2 4 x p f x12 12 思路点拨 先计算 然后化简 即可求出的最大 fx f x 2sin 21 4 x p f x 值 数学文卷 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 201411 21 本题满分 12 分 已知 函数ar 32 23 1 6f xxaxax 若 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 若 求在闭区间上的最小值 1a f x 0 2 a 知识点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数求闭区间上函数的最值 b11 b12 答案 解析 当时 函数的最小值是 680 xy 1a f x 23 3aa 当时 函数的最小值是 1a f x31a 解析 当时 所以曲线1a 2 6126fxxx 26f 24f 在点处的切线方程为 yf x 22f 68yx 记为在闭区间上的最小值 g a f x 0 2a 2 661661fxxaxaxxa 令 得到0fx 12 1xxa 当时 1a 比较和的大小可得 00f 2 3f aaa 2 013 33 a g a aaa 当时 1a 在闭区间上的最小值为 31g aa f x 0 2a 2 311 013 33 aa g aa aaa 思路点拨 求导函数 确定切线的斜率 求出切点的坐标 即可求曲线 y f x 在 点 2 f 2 处的切线方程 分类讨论 利用导数确定函数的单调性 从而可得极值 即可得到最值 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 4 已知函数 若 是 的导函数 则函数 在原点附近的图象大致 2 2cosf xxx fx f x fx 是 知识点 导数的计算 函数的图像 b8 b11 答案答案 解析解析 a a 解析解析 因为 所以函数在 r 上单调递增 22sin 22cos0fxxx fxx fx 则选 a 思路点拨 一般判断函数的图像 可结合函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断 b12b12 导数的应用导数的应用 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 22 12 分 已知 bxaxxxf 2 ln 1 若 函数在其定义域内是增函数 求的取值范围 1 a xfb 2 当 时 证明函数只有一个零点 1 a1 b xf 3 的图象与轴交于 两点 中点为 求证 xfx 0 1 xa 0 2 xb 21 xx ab 0 0 xc 0 0 xf 知识点 导数的应用 b12 答案 1 2 2 2 略 3 略 解析 1 依题意 f x lnx x2 bx f x 在 0 上递增 1 20fxxb x 对x 0 恒成立 即 1 2bx x 对x 0 恒成立 只需 min 1 2 bx x x 0 1 22 2x x 当且仅当 2 2 x 时取 2 2b b的取值范围为 2 2 2 当a 1 b 1 时 f x lnx x2 x 其定义域是 0 分 上单调递增 又 在 分 602 1 0 11 1 1 0 50 12 12 1 2 2 f eee fxf x xx x x xf 函数f x 只有一个零点 3 由已知得 22 1111111 22 2222111 ln0ln ln0ln f xxaxbxxaxbx f xxaxbxxaxbx 两式相减 得 1 121212 2 ln x a xxxxb xx x 1 1212 2 ln x xxa xxb x 由 1 2fxaxb x 及 2x0 x1 x2 得 1 0012 01212122 1221 2 ln x fxaxba xxb xxxxxxxx 1 12121 1 12122122 2 2 1 2 11 ln ln 1 x xxxxx x xxxxxxxx x 令 t 0 1 且 t lnt 0 t 1 t 0 1 2 x x 22 1 t t 2 2 1 1 t t t t 在 0 1 上递减 t 1 0 x1 x2 f x0 0 思路点拨 根据导数的单调性求出 b 的范围 利用函数方程和单调性证明结论 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 11 函数 f x 的定义域是 r f 0 2 对任意x r f x f x 1 则不等式 ex f x ex 1 的 解集为 a x x 0 b x x 0 c x x1 d x x 1 或 0 x 1 知识点 导数的应用 b12 答案 a 解析 令 g x ex f x ex 则 g x ex f x f x 1 对任意 x r f x f x 1 g x 0 恒成立 即 g x ex f x ex在 r 上为增函数 又 f 0 2 g 0 1 故 g x ex f x ex 1 的解集为 x x 0 即不等式 ex f x ex 1 的解集为 x x 0 思路点拨 构造函数 g x ex f x ex 结合已知可分析出函数 g x 的单调性 结 合 g 0 1 可得不等式 ex f x ex 1 的解集 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 17 设正项等差数列 n a 恰好是等比数列的前三项 1452 aaa n b3 2 a 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 记数列的前 n 项和为 若对任意的 恒成立 n b n t nn63 2 3 ntk n 求实数的取值范围 k 知识点 等差数列 等比数列 d2 d3 答案 解析 1 2 2 27 k 解析 设公差为 d 则有21 3n nn anb 2 2151141111 4 13413aad aad aadadadad 又因为 2 3602ddd 或d 0舍 21 3 d2 121 n aaan 2514 3 9 273n n aaab 1 1 1 3 13 33 1132 nnn n bq t q 1 333 36 22 n kn 对 nn 恒成立 24 3n n k 对 nn 恒成立 令 24 3 n n n c 1 1 24262 27 333 nn nnn nnn cc 当3n 时 1nn cc 当 4n 时 1nn cc max3 2 27 n cc 2 27 k 思路点拨 根据等差 等比数列的概念可列出关系求出公差与公比 再写出通项公式 第 二问 可变形为与 k 有关的不等式 再利用通项的性质进行证明 18 已知函数 为常数 2 lnf xxxax a 1 若是函数的一个极值点 求的值 1x f xa 2 当 0 a 2 时 试判断 f x 的单调性 3 若对任意的存在 使不等式恒成立 求实数的取 2 1 a 0 1 2x 0 lnf xma m 值范围 知识点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 b12 答案 解析 1 3 2 f x 在 0 上是增函数 3 log2e 解析 依题意 1 由已知得 f 1 0 1 2 a 0 a 3 3 分 2 当 0 a 2 时 f x 因为 0 a 2 所以 而 x 0 即 故 f x 在 0 上是增函数 8 分 3 当 a 1 2 时 由 2 知 f x 在 1 2 上的最小值为 f 1 1 a 故问题等价于 对任意的 a 1 2 不等式 1 a mlna 恒成立 即恒成立 记 1 a 2 则 10 分 令 m a alna 1 a 则 m a lna 0 所以 m a 所以 m a m 1 0 12 分 故 g a 0 所以在 a 1 2 上单调递减 所以 即实数 m 的取值范围为 log2e 14 分 思路点拨 1 求导数 利用极值的定义 即可求 a 的值 当 0 a 2 时 判断导数的符 号 即可判断 f x 的单调性 3 问题等价于 对任意的 a 1 2 不等式 1 a mlna 恒成立 即恒成立 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 21 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xxax 在1x 处的切线l与直线20 xy 垂直 函数 2 1 2 g xf xxbx 1 求实数a的值 2 若函数 g x存在单调递减区间 求实数 b 的取值范围 3 设是函数 g x的两个极值点 若 7 2 b 求 12 g xg x 的最小值 1212 x x xx 知识点 导数的应用 b12 答案 1 1a 2 3 3 15 2ln2 8 解析 1 lnf xxax 1 a fx x l与直线20 xy 垂直 1 12 x kya 1a 2 由题知 2 2 1111 ln1 1 2 xbx g xxxbxgxxb xx 在上有解 设 则 所以只 0gx 0 0 x 2 11u xxbx 010u 需故 b 的取值范围是 2 1 0 1 2 3 140 b b b b 或b1 则的解 f xrrx 1 xx exfe 集为 a 0 b 0 c d 1 1 1 01 知识点 导数的应用 b12 答案 a 解析 令 g x ex f x ex 则 g x ex f x f x 1 对任意 x r f x f x 1 g x 0 恒成立 即 g x ex f x ex在 r 上为增函数 又 f 0 2 g 0 1 故 g x ex f x ex 1 的解集为 x x 0 即不等式 ex f x ex 1 的解集为 x x 0 思路点拨 构造函数 g x ex f x ex 结合已知可分析出函数 g x 的单调性 结 合 g 0 1 可得不等式 ex f x ex 1 的解集 第第 iiii 卷 非选择题 卷 非选择题 填空题 每小题填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 21 数学文卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 已知函数 1 2 axxxf x exg 其中e是自然对数的底数 1 若1 a 求函数 xgxfy 在 2 1 上的最大值 2 若1 a 关于x的方程 xgkxf 有且仅有一个根 求实数k的取值范围 3 若对任意的2 0 21 xx 21 xx 不等式 2121 xgxgxfxf 都成立 求实数a的取值范围 知识点 导数的应用 绝对值不等式的性质 b12 n4 答案 解析 1 2 3 1 1 2 3e 2 13 0 ee 解析 1 当 a 1 时 由得 x 0 或 x 1 经 22 1 xx yxxeyxx e 0y 检验 x 1 0 时 x 0 2 时 所以函数 xgxfy 0y 0y 在 1 0 上递减 在 0 2 上递增 又当 x 1 时 y x 2 时 y 所以函数 3 e 2 3e xgxfy 在 2 1 上的最大值为 2 3e 2 当 a 1 时 关于x的方程 xgkxf 为 即 2 1 x xxke 2 1 x xx k e 令 经检验得 h x 在上递减 2 121 xx xxxx h xh x ee 1 2 在 1 2 上递增 所以函数 h x 在 x 1 处有极小值 h 1 在 x 2 处有极大值 h 2 1 e 2 3 e 而 x 趋向于时 h x 趋向于 0 所以实数 k 的取值范围是 2 13 0 ee 3 不等式 2121 xgxgxfxf 即 12 22 1122 xx xaxxaxee 只需 12 1212 xx xxxxaee 12 12 12 xx ee xxa xx 12 1212 12 xx ee xxaxxa xx 12 12 12 xx ee axx xx 因为2 0 21 xx 是增函数 所以 0 0 x e 12 12 xx ee xx 12 xx 所以 12 12 22 12 12 1212 xx xx exex ee axx xxxx 设 则 而得 经检验 2 x h xex 2 x h xq xex 20 x q xe ln2x 时有极小值 也是最小值 所以 h x 是 0 2 上得增函数 而ln2x h x 22ln20 所以 2 2 0 5 0 1 1 202 hhe h 111aa 思路点拨 1 利用导数确定函数的单调性 极值性 从而求得此函数 2 1 x yxxe 的最大值 2 采用分离常数法求 k 的取值范围 3 利用绝对值不等式的性质 转化为 求函数在 0 2 上 任意两点确定直线的斜率的最小值 a 小于此最小值即可 2 x h xex 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 20 本小题满分 12 分 设函数 2 x f xeax 1 求函数的单调区间 f x 2 若 k 为整数 为的导函数 且当时 1a fx f x0 x 求 k 的最大值 10 xkfxx 知识点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 b11 b12 答案 解析 1 f x 在 lna 单调递减 在 lna 上单调递增 2 2 解析 1 函数 f x ex ax 2 的定义域是 r f x ex a 若 a 0 则 f x ex a 0 所以函数 f x ex ax 2 在 上单调递 增 若 a 0 则当 x lna 时 f x ex a 0 当 x lna 时 f x ex a 0 所以 f x 在 lna 单调递减 在 lna 上单调递 增 2 由于 a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 故当 x 0 时 x k f x x 1 0 等价于 k x 0 令 g x 则 g x 由 i 知 函数 h x ex x 2 在 0 上单调递增 而 h 1 0 h 2 0 所以 h x ex x 2 在 0 上存在唯一的零点 故 g x 在 0 上存在唯 一的零点 设此零点为 则有 1 2 当 x 0 时 g x 0 当 x 时 g x 0 所以 g x 在 0 上的最小值为 g 又由 g 0 可得 e 2 所以 g 1 2 3 由于 式等价于 k g 故整数 k 的最大值为 2 思路点拨 1 求函数的单调区间 可先求出函数的导数 由于函数中含有字母 a 故应 按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性 给出单调区间 2 由题设条件结合 i 将不等式 x k f x x 1 0 在 x 0 时成立转化为 k x 0 成 立 由此问题转化为求 g x 在 x 0 上的最小值问题 求导 确定出函数的最 小值 即可得出 k 的最大值 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 20 本小 题满分 16 分 设函数 2 1 ln 2 a f xxaxx ar 1 当时 求函数的极值 1a f x 2 当时 讨论函数的单调性 1a f x 3 若对任意及任意 恒有成立 3 4 a 12 1 2 x x 2 12 1 ln2 2 a mf xf x 求实数的取值范围 m 知识点 导数在最大值 最小值问题中的应用 b12 答案 解析 1 当时 单调递减 当时 01x 0 fx xf1x 0 fx 单调递增 无极大值 2 当 时 在上 xf 1 1f xf 极小值 2a f x 0 是减函数 当时 在和单调递减 在上单调递增 2a f x 1 0 1a 1 1 1 1a 当时 在和单调递减 在上单调递增 3 12a f x 0 1 1 1a 1 1 1a 1 15 m 解析 1 函数的定义域为 当时 当 0 1a 11 ln 1 x f xxx fx xx 时 单调递减 当时 单调递增01x 0 fx xf1x 0 fx xf 无极大值 1 1f xf 极小值 2 1 1 fxa xa x 2 1 1a xax x 1 1 1 1 a xx a x 当 即时 在定义域上是减函数 1 1 1a 2a 2 1 0 x fx x f x 当 即时 令得或令 1 01 1a 2a 0 fx 1 0 1 x a 1 x 0 fx 得 1 1 1 x a 当 即时 令得或令 1 1 1a 12a 0 fx 01x 1 1 x a 0 fx 得 1 1 1 x a 综上 当时 在上是减函数 当时 在和2a f x 0 2a f x 1 0 1a 单调递减 在上单调递增 当时 在和单 1 1 1 1a 12a f x 0 1 1 1a 调递减 在上单调递增 1 1 1a 3 由 知 当时 在上单减 是最大值 是最小值 3 4 a f x 1 2 1 f 2 f 而经 12 3 1 2 ln2 22 a f xf xff 2 1 ln2 2 a m 3 ln2 22 a 0a 整理得 由得 所以 2 3 1 a m a 34a 2 31 0 115 a a 1 15 m 思路点拨 1 确定函数的定义域 利用导数的正负 确定函数的单调性 从而可求函数 的极值 2 求导函数 分类讨论 利用导数的正负 确 fx 1 1 1 1 a xx a x 定函数的单调性 3 由 2 知 当 a 3 4 时 f x 在