【备考】全国名校高考数学试题分类汇编（12月 第一期）K单元 概率（含解析）.doc

k单元 概率 目录k单元 概率1k1随事件的概率1k2古典概型2k3几何概型2k4 互斥事件有一个发生的概率4k5 相互对立事件同时发生的概率2k6离散型随机变量及其分布列4k7条件概率与事件的独立性2k8离散型随机变量的数字特征与正态分布4k9 单元综合2 k1随事件的概率【数学理卷2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）(1)】19（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。【知识点】概率；分布列与数学期望.k1,k6【答案】【解析】（1）（2）的分布列为数学期望为-解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件a，则p(a)所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元-5分，-9分所以，的分布列为数学期望为-12分【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，根据公式求出数学期望即可.【数学理卷2015届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（201411）】13.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为_.【知识点】随事件的概率k1【答案解析】 记事件a为“第一次取到黑球”，事件b为“第二次取到白球”，则事件ab为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，依题意知p（a）= ，p（ab）= ，在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是p（b|a）= 故答案为：【思路点拨】本题条件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、第二次取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果k2古典概型【数学理卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记（i）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望. k2 k6 k8【答案】【解析】（i）的最大值为，取得最大值的概率； （）则随机变量的分布列为：数学期望为2.解析：（i）、可能的取值为、，1分，且当或时， 因此，随机变量的最大值为 3分 有放回摸两球的所有情况有种6分 （）的所有取值为 时，只有这一种情况 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况 ，8分 则随机变量的分布列为：10分因此，数学期望12分【思路点拨】（i）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（）由（i）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望【数学文卷2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）】19（12分）新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”。到饭店吃饭是吃光盘子或是打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”，政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区25,55岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率光盘族占本组比例第1组25,30)500.0530%第2组30,35)1000.1030%第3组35,40)1500.1540%第4组40,45)2000.2050%第5组45,50)ab65%第6组50,55)2000.2060% （1）求的值，并估计本社区25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例； （2）从年龄段在35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食 宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自35,40)与40,45)两个年龄段的概率。【知识点】用样本估计总体；古典概型. i2 k2 【答案】【解析】（1）a=300，b=0.30；（2） .解析：解：（1） 1分 2分 3分样本中的“光盘族”人数为： 5分样本中的“光盘族”所占的比例为： 6分（2）年龄段在的“光盘族”的人数为人，年龄段在的“光盘族”人数为人，采用分层抽样方法抽取8人中的“光盘族”有3人，在的有5人，记中的3人为，的5人记为，则选取2人做领队有共28种 10分其中分别来自与两个年龄段的有： 共15种11分所以分别来自与两个年龄段的概率 12分【思路点拨】（1）由，；（2）先求出抽取的8人中，的“光盘族”有3人，的有5人，再用列举法写出从这8人中任取2人的所有情况，共28 种，其中，分别来自与两个年龄段的有11种，由此得所求概率.k3几何概型【数学文卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ade以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（ ）a b c d【知识点】概率 k3【答案】【解析】b 解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】几何概型，可分别求出各部分的面积再求出概率.【数学文卷2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）】8.已知菱形的边长为4，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）a. b. c. d. 【知识点】几何概型. k3 【答案】【解析】d解析：以a、b、c、d为圆心1为半径的圆在菱形内的面积为:,(任意两圆相离)，而菱形的面积为8，所以所求概率为，故选d.【思路点拨】先求菱形中，到点a、b、c、d的某一个点的距离小于1的点构成图像的面积，然后利用几何概型求得概率.k4 互斥事件有一个发生的概率k5 相互对立事件同时发生的概率k6离散型随机变量及其分布列【数学理卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记（i）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望. k2 k6 k8【答案】【解析】（i）的最大值为，取得最大值的概率； （）则随机变量的分布列为：数学期望为2.解析：（i）、可能的取值为、，1分，且当或时， 因此，随机变量的最大值为 3分 有放回摸两球的所有情况有种6分 （）的所有取值为 时，只有这一种情况 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况 ，8分 则随机变量的分布列为：10分因此，数学期望12分【思路点拨】（i）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（）由（i）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望【数学理卷2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】18（本小题满分12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列k6【答案】【解析】(1) 35 (2) 14（3） 解析：（1）乙厂生产的产品总数为；2分（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；4分（3）， 5分 ，8分的分布列为 11分均值12分【思路点拨】（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量（3）由题意知=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值【数学理卷2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）(1)】19（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。【知识点】概率；分布列与数学期望.k1,k6【答案】【解析】（1）（2）的分布列为数学期望为-解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件a，则p(a)所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元-5分，-9分所以，的分布列为数学期望为-12分【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，根据公式求出数学期望即可.【数学理卷2015届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（201411）】18.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下 观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值. （2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量表示抽取出3人中支持的人数，写出的分布列并计算.【知识点】离散型随机变量及其分布列k6【答案解析】（1）40（2）（1）利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持a方案”的人中抽取了6人，=，解得n=40，（2）x=0，1，2x012p274717e（x）=1+2=，d（x）=(0-)2+(1-)2+(2-)2=【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值（2）x=0，1，2，求出相应的概率，可得x的分布列并计算e（x），d（x）【数学文卷2015届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（201411）】18.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下 观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值. （2）在支持的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人， 求恰有1人在20岁以下的概率.【知识点】离散型随机变量及其分布列k6【答案解析】（1）40（2）（2）（1）利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持a方案”的人中抽取了6人，=，解得n=40，（2）从“支持c方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种故恰有1人在20岁以下的概率p=【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案k7条件概率与事件的独立性k8离散型随机变量的数字特征与正态分布【数学理卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记（i）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望. k2 k6 k8【答案】【解析】（i）的最大值为，取得最大值的概率； （）则随机变量的分布列为：数学期望为2.解析：（i）、可能的取值为、，1分，且当或时， 因此，随机变量的最大值为 3分 有放