三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第二章 函数 2.9 函数的模型及其应用课件.ppt

2 9函数的模型及其应用 1 三种增长型函数的模型与性质 y轴 x轴 2 三种增长型函数之间增长速度的比较 1 指数函数y ax a 1 与幂函数y x 0 在区间 0 上 无论 比a大多少 尽管在x的一定范围内ax会小于x 但由于y ax的增长速度快于y x 的增长速度 因而总存在一个x0 当x x0时有 2 对数函数y logax a 1 与幂函数y x 0 对数函数y logax a 1 的增长速度 不论a与 值的大小如何 总会慢于y x 的增长速度 因而在定义域内总存在一个实数x0 当x x0时有 由 1 2 可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数 但它们的增长速度不同 且不在同一个档次上 因此在 0 上 总会存在一个x0 当x x0时有 ax x logax x ax x logax 3 常见函数模型 1 直线模型 即一次函数模型 其增长特点是直线上升 x的系数k 0 通过图象可以很直观地认识它 2 指数函数模型 能用指数型函数表达的函数模型 其增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 a 1 常形象地称之为 指数爆炸 3 对数函数模型 能用对数型函数表达的函数模型 其增长的特点是开始阶段增长得较快 a 1 但随着x的逐渐增大 其函数值变化得越来越慢 常称之为 蜗牛式增长 4 幂函数模型 能用幂函数表达的函数模型 其增长情况随x 中 的取值变化而定 常见的有二次函数模型 4 解函数应用题关键是建立数学模型 要顺利地建立数学模型 重点要过好三关 1 事理关 通过阅读 理解 明白问题讲的是什么 熟悉实际背景 为解题打开突破口 2 文理关 将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言 用数学式子表达数量关系 3 数理关 在构建数学模型的过程中 用已有数学知识进行检验 从而认定或构建相应的数学模型 完成由实际问题向数学问题的转化 5 对勾 函数模型 形如f x x a 0 x 0 的函数模型 在现实生活中有着广泛的应用 1 有一组实验数据 如下表 则最佳体现这些数据关系的函数模型是 a v log2tb v 2t 2c v d v 2t 2答案c采用排除法 当t 4时 v log2t log24 2 但题表中的v值是7 5 相差很大 排除a 当t 4时 v 2t 2 24 2 14 与7 5相差太大 排除b 当t 4时 v 2t 2 2 4 2 6 与7 5相差也太大 排除d 故选c c 2 2015浙江宁波联合测试 6 某位股民购进某只股票 在接下来的交易时间内 他的这只股票先经历了n次涨停 每次上涨10 又经历了n次跌停 每次下跌10 则该股民这只股票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 a 略有盈利b 略有亏损c 没有盈利也没有亏损d 无法判断盈亏情况答案b设该股民购进这只股票的价格为a元 则经历n次涨停后的价格为a 1 10 n a 1 1n元 经历n次跌停后的价格为a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a元 a元 故该股民这只股票略有亏损 c 3 2015浙江嘉兴桐乡一中月考 现有含盐7 的食盐水200g 需将它制成工业生产上需要的含盐5 以上且在6 以下 不含5 和6 的食盐水 设需要加入4 的食盐水xg 则x的取值范围是 答案 100 400 解析设加入xg4 的食盐水后 食盐水浓度为y 则y 令5 y 6 即 200 x 5 200 7 x 4 200 x 6 解得100 x 400 c 4 某出租车公司规定乘车收费标准如下 3公里以内为起步价8元 即行程不超过3公里 一律收费8元 若超过3公里 除起步价外 超过的部分再按1 5元 公里计价 司机与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱 已知该乘客下车时乘车里程数为7 4公里 则该乘客应付的车费为 答案15元解析依题意得实际乘车费用为8 1 5 7 4 3 14 6 元 应付车费15元 c 5 函数f x 的定义域为d 若满足 f x 在d内是单调函数 存在 a b d 使f x 在 a b 上的值域为 b a 那么y f x 叫做对称函数 现有f x k是对称函数 那么k的取值范围是 答案解析由于f x k在 2 上是减函数 所以 关于x的方程 k x在 2 上有两个不同的实根 通过换元结合图象可得k c 一次函数与二次函数模型典例1 2014浙江 17 4分 如图 某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练 已知点a到墙面的距离为ab 某目标点p沿墙面上的射线cm移动 此人为了准确瞄准目标点p 需计算由点a观察点p的仰角 的大小 若ab 15m ac 25m bcm 30 则tan 的最大值是 仰角 为直线ap与平面abc所成角 答案解析过点p作pn bc于n 连结an 则 pan 如图 设pn xm 由 bcm 30 得cn xm 在直角 abc中 ab 15m ac 25m 则bc 20m 故bn 20 x m 从而an2 152 20 x 2 3x2 40 x 625 故tan2 当 时 tan2 取最大值 即当x 时 tan 取最大值 一次函数与二次函数模型问题的解决方法 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升或直线下降 构建一次函数模型 利用一次函数的图象与单调性求解 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 对二次函数模型 一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决 注意 在解决一次函数 二次函数的应用问题时 一定要注意定义域 1 1 2015上海六校联考 20 14分 为了保护环境 某工厂在国家的号召下 把废弃物回收转化为某种产品 经测算 处理成本y 万元 与处理量x 吨 之间的函数关系可近似表示为y x2 50 x 900 且每处理一吨废弃物可获得价值为10万元的某种产品 同时获得国家补贴10万元 1 当x 10 15 时 判断该项举措能否获利 如果能获利 求出最大利润 如果不能获利 请求出国家最少补贴多少万元 该工厂才不会亏损 2 当处理量为多少吨时 每吨的平均处理成本最少 解析 1 该项举措不会获利 设该工厂获得的利润为p万元 则p 10 10 x y 20 x x2 50 x 900 x2 70 x 900 x 35 2 325 x 10 15 p x 35 2 325在 10 15 上为增函数 可求得p 300 75 国家至少补贴75万元 该工厂才不会亏损 2 设每吨的平均处理成本为q万元 则q x 50 2 50 10 当且仅当x 时等号成立 由x 0得x 30 因此 当处理量为30吨时 每吨的处理成本最少 分段函数模型典例2 2015浙江冲刺卷三 21 某企业生产一种产品 由于受技术水平的限制 会产生一些次品 根据经验 其次品率q与日产量x 万件 之间满足关系 q 其中a为常数 且1 a 11 已知每生产1万件合格的产品可以盈利2万元 但每生产1万件次品将亏损1万元 注 次品率 次品数 生产量 如q 0 1表示每生产10件产品 有1件次品 其余为合格品 1 试将生产这种产品每天的盈利额p x 万元 表示为日产量x 万件 的函 数 2 当日产量为多少时 可获得最大利润 解析 1 当a x 11时 q p x x 2 x 1 x 当1 x a时 q p x 2 1 q x qx 2x 综上 日盈利额p x 万元 与日产量x 万件 的函数关系式为p x 其中a为常数 且1 a 11 2 当a x 11时 p x 其最大值为5 5 c 当1 x a时 p x 设t 12 x 则12 a t 11 此时 p x 2 显然 当且仅当t 3 即x 9时 p x 有最大值 为13 5 令p x 0 解得x 11 舍去 或x 3 则 i 当1 a 3时 日产量为11万件时 可获得最大利润5 5万元 ii 当3 a 9时 函数p x 可看成是由函数y 2 12 a t 11 与t 12 x 1 x a 复合而成的 因为3 a 9 所以3 12 a 9 故y 2在 12 a 11 上为减函数 又t 12 x在 1 a 上为减函数 所以p x 在 1 a 上为增函数 故当日产量为a 万件时 可获得最大利润p a 万元 iii 当9 a 11时 日产量为9万件时 可获得最大利润13 5万元 分段函数模型问题的两点注意 1 构建分段函数时 要做到分段合理 不重不漏 并要注意实际问题中各 段自变量的取值范围 特别是端点值 2 在求分段函数的最值时 应先求每一段上的最值 然后比较得出最大值 最小值 2 1 2015湖南师大附中月考 19 今年暑假期间有一个自驾游车队 组织车友前往青海游玩 该车队是由31辆车身长都约为5m 以5m计算 的同一车型组成的 行程中经过一个长为2725m的隧道 通过该隧道的速度不能超过20m s 匀速通过该隧道 设车队速度为xm s 根据安全和车流的需要 当0 x 12时 相邻两车之间保持20m的距离 当12 x 20时 相邻两车之间保持m的距离 从第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为ys 1 将y表示成x的函数 2 求该车队通过隧道所用的时间的最小值及此时车队的速度 解析 1 当0 x 12时 y 当12 x 20时 y 5x 10 综上 y 2 当0 x 12时 由于函数单调递减 所以当x 12时 y有最小值 ymin 290 当12254 所以ymin 254 答 当车队的速度为20m s时 车队通过隧道所用的时间最少 为254s 指数函数与对数函数模型典例3 2015四川 13 5分 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是小时 答案24解析依题意有192 eb 48 e22k b e22k eb 所以e22k 所以e11k 或 舍去 于是该食品在33 的保鲜时间是e33k b e11k 3 eb 192 24 小时 c 1 指数函数模型常与人口增长 银行利率 细胞分裂等相结合进行考查 而对数函数模型常与价格指数 环境承载力等有一定的联系 2 应用指数函数模型或对数函数模型时 关键是对模型的判定 但现在高考对这方面的要求不高 常见的题型是先设定模型 将有关的已知数据代入确定其中参数的值 从而确定模型 3 建立了形如y a bx c d b 0且b 1 或y alogb cx d b 0 且b 1 的函数模型之后 通常利用指数函数或对数函数的性质及图象来处理 3 1某医药研究所开发