高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文.ppt

文数课标版 第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 1 直线的倾斜角 1 定义 当直线l与x轴相交时 取x轴作为基准 x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴 平行或重合时 规定它的倾斜角为0 2 范围 直线l倾斜角的范围是 0 教材研读 2 斜率公式 1 若直线l的倾斜角 90 则斜率k tan 2 若p1 x1 y1 p2 x2 y2 在直线l上 且x1 x2 则l的斜率k 3 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 特别地 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1与l2 平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2的斜率都存在 设为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 1 当一条直线的斜率为零 另一条直线的斜率不存在时 两条直线互相 垂直 4 直线方程的五种形式 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 2 直线的斜率越大 其倾斜角就越大 3 直线的斜率为tan 则其倾斜角为 4 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 5 经过定点a 0 b 的直线都可以用方程y kx b表示 6 1表示所有不经过原点的直线 7 经过任意两个不同的点p1 x1 y1 p2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 8 若直线l1 l2 则其斜率k1 k2 9 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定等于 1 10 已知直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1 b1 c1 a2 b2 c2 为常数 若直线l1 l2 则a1a2 b1b2 0 1 若直线x 2的倾斜角为 则 a 等于0b 等于c 等于d 不存在答案c因为直线x 2垂直于x轴 所以倾斜角 为 2 直线x y a 0的倾斜角为 a 30 b 60 c 150 d 120 答案b设直线的倾斜角为 则tan 0 3 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率等于1 则m的值为 a 1b 4c 1或3d 1或4答案a由题意知 1 m 2 解得m 1 4 如果a c0 0 0 直线ax by c 0经过第一 二 四象限 故选c 5 过两点a 0 1 b 2 3 的直线方程为 答案x y 1 0解析由两点式可得直线方程为 整理得x y 1 0 考点一直线的倾斜角与斜率典例1 1 直线xsin y 2 0的倾斜角的范围是 a 0 b c d 2 直线l过点p 1 0 且与以a 2 1 b 0 为端点的线段有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 答案 1 b 2 1 解析 1 设直线的倾斜角为 则有tan sin 又sin 1 1 0 所以0 或 2 如图 kap 1 考点突破 kbp 直线l的斜率k 1 易错警示由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时 常借助正切函数y tanx在和上的单调性求解 应注意任何直线都有倾斜角 但不是所有直线都有斜率 当倾斜角为时 直线斜率不存在 变式1 1若将本例 2 中的条件 p 1 0 改为 p 1 0 则直线l斜率的取值范围是什么 解析 p 1 0 a 2 1 b 0 kap kbp 如图 可知直线l斜率的取值范围为 变式1 2若将本例 2 中的条件 p 1 0 改为 p 0 1 则直线l斜率的取值范围是什么 倾斜角的取值范围是什么 解析 p 0 1 a 2 1 b 0 kap 0 直线bp的斜率不存在 如图 可知直线l斜率的取值范围为 0 倾斜角的取值范围为 变式1 3在本例 2 的条件下 若互换a p两点的坐标 即p 2 1 a 1 0 试求直线l斜率的取值范围 解析 p 2 1 a 1 0 b 0 kpa 1 kpb 如图所示 直线l的斜率的取值范围为 考点二两条直线的平行与垂直典例2已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 1 当l1 l2时 求a的值 2 当l1 l2时 求a的值 解析 1 解法一 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 当a 1且a 0时 两直线方程可化为l1 y x 3 l2 y x a 1 由l1 l2可得解得a 1 综上可知 a 1 解法二 由l1 l2知即 a 1 2 解法一 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与l2不垂直 故a 1不符合 当a 1时 l1 y x 3 l2 y x a 1 由l1 l2得 1 a 解法二 l1 l2 a1a2 b1b2 0 即a 2 a 1 0 得a 方法技巧两直线平行或垂直的判定方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等 两直线垂直 两直线的斜率之积为 1 2 已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在 当两直线在x轴上的截距不相等时 两直线平行 否则两直线重合 3 已知两直线的一般方程设直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 l1 l2 a1a2 b1b2 0 该方法可避免对斜率是否存在进行讨论 2 1若直线l1 mx y 2 0与直线l2 2 m x y 1 0互相平行 则实数m的值为 a 1b 0c 1d 2答案c 直线l1 mx y 2 0与直线l2 2 m x y 1 0互相平行 解得m 1 故选c 2 2已知直线l1 2ax a 1 y 1 0 l2 a 1 x a 1 y 0 若l1 l2 则a a 2或b 或 1c d 1答案b因为直线l1 2ax a 1 y 1 0 l2 a 1 x a 1 y 0 l1 l2 所以2a a 1 a 1 a 1 0 解得a 或a 1 故选b 考点三求直线方程典例3 1 求过点a 1 3 斜率是直线y 4x的斜率的的直线方程 2 求经过点a 5 2 且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程 3 求过a 2 1 b m 3 两点的直线l的方程 解析 1 设所求直线的斜率为k 依题意k 4 又直线经过点a 1 3 因此所求直线方程为y 3 x 1 即4x 3y 13 0 2 当直线不过原点时 设所求直线方程为 1 a 0 将 5 2 代入所设方程 解得a 所以直线方程为x 2y 1 0 当直线过原点时 设所求直线方程为y kx 则 5k 2 解得k 所以直线方程为y x 即2x 5y 0 故所求直线方程为2x 5y 0或x 2y 1 0 3 当m 2时 直线l的方程为x 2 当m 2时 直线l的方程为 即2x m 2 y m 6 0 将m 2代入方程2x m 2 y m 6 0 得x 2 所以直线l的方程为2x m 2 y m 6 0 易错警示 1 在求直线方程时 应选择适当的形式 并注意各种形式的适用条件 2 对于点斜式 截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 若采用截距式 应判断截距是否为零 3 1根据所给条件求直线的方程 1 直线过点 4 0 倾斜角的正弦值为 2 直线过点 3 4 且在两坐标轴上的截距之和为12 3 直线过点 5 10 且原点到该直线的距离为5 解析 1 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则斜率k tan 故所求直线方程为y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由题设知截距不为0 设直线方程为 1 又直线过点 3 4 所以 1 解得a 4或a 9 故所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 3 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设斜率为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 5 解得k 所求直线方程为3x 4y 25 0 综上 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 考点四直线方程的综合问题典例4过点p 4 1 作直线l分别交x y轴正半轴于a b两点 1 当 aob面积最小时 求直线l的方程 2 当 oa ob 取最小值时 求直线l的方程 解析设直线l 1 a 0 b 0 因为直线l经过点p 4 1 所以 1 1 1 2 所以ab 16 当且仅当a 8 b 2时等号成立 所以当a 8 b 2时 aob的面积最小 此时直线l的方程为 1 即x 4y 8 0 2 因为 1 a 0 b 0 所以 oa ob a b a b 5 9 当且仅当a 6 b 3时等号成立 所以当 oa ob 取最小值时 直线l的方程为x 2y 6 0 1 给定条件求直线方程的思路 1 考虑问题的特殊情况 如斜率不存在的情况 截距等于零的情况 2 在一般情况下准确选定直线方程的形式 用待定系数法求出直线方程 3 重视直线方程一般形式的应用 因为它具有广泛的适用性 方法技巧 2 与直线有关的最值问题的解题思路 1 借助直线方程 用y表示x 或用x表示y 2 将问题转化成关于x 或y 的函数 3 利用函数的单调性或基本不等式求最值 4 1已知直线l kx y