高三数学 知识点精析精练11 平面向量的综合应用.doc

2014高三数学知识点精析精练11：平面向量的综合应用【复习要点】1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【例题】1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令o为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】 已知，ad为中线，求证证明：以b为坐标原点，以bc所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，.=，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】 已知点是且试用解：以o为原点，oc，ob所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由oa=2，所以，易求，设.【例5】 如图，用表示解：以o为坐标原点，以oa所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图，已知平行六面体abcda1b1c1d1的底面abcd是菱形，且c1cb=c1cd=bcd.(1)求证：c1cbd.(2)当的值为多少时，能使a1c平面c1bd？请给出证明. (1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、中两两所成夹角为，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,c1cbd.(2)解：若使a1c平面c1bd，只须证a1cbd，a1cdc1，由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，a1cdc1，同理可证当|a|=|c|时，a1cbd，=1时，a1c平面c1bd.【例7】 如图，直三棱柱abca1b1c1，底面abc中，ca=cb=1，bca=90，aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点.(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：a1bc1m.解：(1)如图，以c为原点建立空间直角坐标系oxyz.依题意得：b(0，1，0)，n(1，0，1)|=.(2)解：依题意得：a1(1，0，2)，c(0，0，0)，b1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明：依题意得：c1(0，0，2)，m()a1bc1m.5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】 求平面内两点间的距离公式解：设点 ， ,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】 证明:证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】 证明柯西不等式证明：令（1） 当或时，结论显然成立；（2） 当且时，令为的夹角，则 . 又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立）【例11】 求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.【例12】 三角形abc中，a(5，1)、b(1，7)、c(1，2)，求：(1)bc边上的中线am的长；(2)cab的平分线ad的长；(3)cosabc的值.解：(1)点m的坐标为xm=d点分的比为2.xd=(3)abc是与的夹角，而=(6，8），=(2，5）.【平面向量的综合应用】一、选择题1.设a、b、c、d四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形abcd为( )a.正方形b.矩形c.菱形d.平行四边形2.已知abc中，=a，=b，ab0，sabc=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )a.30b.150c.150d.30或150二、填空题3.将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_.4.等腰abc和等腰rtabd有公共的底边ab，它们所在的平面成60角，若ab=16 cm,ac=17 cm,则cd=_.三、解答题5.如图，在abc中，设=a， =b， =c, =a,(01), =b(01),试用向量a，b表示c.6.正三棱柱abca1b1c1的底面边长为a,侧棱长为a.(1)建立适当的坐标系，并写出a、b、a1、c1的坐标；(2)求ac1与侧面abb1a1所成的角.7.已知两点m(1，0)，n(1，0)，且点p使成公差小于零的等差数列.(1)点p的轨迹是什么曲线？(2)若点p坐标为(x0,y0),q为与的夹角，求tan.8.已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点.(1)用向量法证明e、f、g、h四点共面；(2)用向量法证明：bd平面efgh；(3)设m是eg和fh的交点，求证：对空间任一点o，有.参考答案一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又线段ab与线段dc无公共点，abdc且|ab|=|dc|，abcd是平行四边形，又|=， =(5，3），|=，|,abcd不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），14+21=60,不垂直于，abcd也不是矩形，故选d.答案：d2.解析：35sin得sin=,则=30或=150.又ab0,=150.答案：c二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：与共线，=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)a+mb又与共线，=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a与b不共线，解方程组得：m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解：(1)以点a为坐标原点o，以ab所在直线为oy轴，以aa1所在直线为oz轴，以经过原点且与平面abb1a1垂直的直线为ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得a(0，0，0），b(0，a,0）,a1(0,0,a),c1(a).(2)取a1b1的中点m，于是有m(0，a），连am，mc1，有=(a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)由于=0，=0，所以mc1面abb1a1，ac1与am所成的角就是ac1与侧面abb1a1所成的角.=所以所成的角，即ac1与侧面abb1a1所成的角为30.7.解：(1)设p(x,y）,由m(1，0），n(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点p的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半