高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件2 新人教A版必修4.ppt

1 1 2弧度制 知识提炼 1 度量角的两种制度 度 弧度 半径长 rad 2 弧度数的计算 正数 负数 0 3 角度制与弧度制的换算 4 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r 弧长为l 0 2 为其圆心角 则 1 弧长公式 l 2 扇形面积公式 s r 即时小测 1 判断 1 1rad的角等于1度的角 2 每个弧度制的角 都有唯一的角度制的角与之对应 3 不论是用角度制还是用弧度制度量角 它们均与圆的半径长短有关 解析 1 错误 1rad 57 30 与1度的角不相等 2 正确 对于弧度数为 的角有唯一的角度数为 度角与之对应 3 错误 用角度制或用弧度制度量角 均与圆的半径长短无关 答案 1 2 3 2 与120 角终边相同的角的集合是 a k 360 k z b 2k 120 k z c k 180 120 k z d 2k k z 解析 选d 与120 角终边相同的角 120 k 360 k z或 2k k z 3 半径为2 圆心角为的扇形的面积是 解析 选c 由扇形的面积公式可得 此扇形的面积是 4 把下列各角从弧度化为角度 1 2 解析 1 2 答案 1 210 2 240 5 把下列各角从角度化为弧度 1 315 2 75 解析 1 315 2 75 答案 1 2 知识探究 知识点1角度制与弧度制观察图形 回答下列问题 问题1 角与实数能否一一对应 问题2 比值与所取的圆的半径大小是否有关 总结提升 1 角与实数的对应 1 角的概念推广后 无论是用角度制还是用弧度制 都能在角的集合与实数集r之间建立一种一一对应的关系 即每一个角都有唯一的一个实数 例如这个角的度数或弧度数 与它对应 反过来每一个实数也都有惟一的一个角 如弧度或角度数等于这个实数的角 与之对应 2 由于弧度制的单位与实数单位一致 所以能给研究问题带来方便 2 角度 与 弧度 的区别与联系 1 区别 定义不同 单位不同 弧度制是以 弧度 为单位 单位可以省略 而角度制是以 度 为单位 单位不能省略 弧度制是十进制 而角度制是六十进制 2 联系 不管以 弧度 还是以 度 为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值 仅和半径与所含的弧这两者的比值有关 弧度 与 角度 之间可以相互转化 3 常见的角度与弧度的换算结论 知识点2弧度制下扇形的弧长 面积公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 计算扇形的弧长和面积关键是需要哪几个量 问题2 角度制和弧度制下的弧长公式和面积公式哪个更简洁 总结提升 1 对弧度数计算公式的两点说明 1 我们常用 来求解圆中圆心角所对的弧度数 一般来说 在圆中弧长是个正数 故得出的圆心角也为正数 但在平面直角坐标系中 所求的角不一定为正角 所以常常根据需要在角 上添加正负号 故这个求弧度数的公式常常记为 2 在弧度制下 弧长公式和扇形的面积公式分别为 l r s lr r2 其中 为圆心角的弧度数 r为扇形的半径 2 对弧度制下弧长公式 扇形的面积公式的三点说明 1 公式中共四个量分别为 l r s 由其中的两个量可以求出另外的两个量 即知二求二 2 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多 但要注意它的前提是 为弧度制 3 在运用公式时 还应熟练地掌握这两个公式的变形运用 l r r s r2 题型探究 类型一角度与弧度的互化及应用 典例 1 把下列各角从弧度化为度 1 2 2 把下列各角从度化为弧度 1 1440 2 67 30 3 把下列各角化成2k 0 2 k z 的形式 并指出是第几象限角 1 1500 2 3 4 解题探究 1 典例1中 从弧度化为度时要乘以多少 提示 弧度数 度数 2 典例2中 从度化为弧度时要乘以多少 提示 度数 rad 弧度数 3 典例3中 2k k z 与 的终边有什么关系 提示 终边相同 解析 1 1 2 答案 1 108 2 15 2 1 1440 2 67 30 67 5 答案 3 1 因为 1500 1800 300 5 360 300 所以 1500 可化成 10 是第四象限角 2 因为所以与终边相同 是第四象限角 3 因为 4 2 2 4 2 4 所以 4与2 4终边相同 是第二象限角 方法技巧 角度制与弧度制的互化的原则 方法以及注意点 1 原则 牢记180 rad 充分利用1 rad和1rad 进行换算 2 方法 设一个角的弧度数为 角度数为n 则 rad n n 3 注意点 以 弧度 为单位度量角时 弧度 二字或 rad 可以省略不写 以 弧度 为单位度量角时 常常把弧度数写成多少 的形式 如无特别要求 不必把 写成小数 度化弧度时 应先将分 秒化成度 再化成弧度 拓展延伸 角度制与弧度制互化的简单化法记住180 rad 可以采用比例的方式来进行角度制与弧度制的互化 如设75 xrad 则 得x rad 这样求解更简单 方便 变式训练 1 2015 银川高一检测 1920 的角转化为弧度数是 解析 选d 因为1 rad 所以1920 1920 rad 2 将 1485 化为2k 0 2 k z 的形式是 解析 因为 1485 5 360 315 所以 1485 可以表示为 10 答案 10 类型二用弧度制表示角的集合 典例 1 终边经过点 a a a 0 的角 的集合是 a b c 2k k z d k k z 2 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合 包括边界 并判断2012 是不是这个集合的元素 解题探究 1 典例1中 在 0 2 内 哪个角的终边经过点 a a a 0 提示 和的终边经过点 a a a 0 2 典例2中 在 0 2 内终边在图中阴影区域内角的集合 包括边界 是什么 提示 解析 1 选d 终边经过点 a a a 0 的角 的集合 2k k z 终边经过点 a a a 0 的角 的集合 2k k z 2k 1 k z 终边经过点 a a a 0 的角 的集合是 2k k z 2k 1 k z k k z 2 因为150 所以终边在阴影区域内角的集合为s 2k 2k k z 因为2012 212 5 360 10 rad 又所以2012 s 延伸探究 典例1中点的坐标改为 a a a 0 角 的集合是什么 解析 角 的集合是 k k z 方法技巧 1 用弧度表示角的注意点 1 注意角度与弧度不能混用 2 各终边相同的角需加2k k z 3 求两个角的集合的交集时 注意应用数轴直观确定 可对k进行适当的赋值 2 解决 弧度 与 角度 概念问题的关键点 1 引入弧度制后 角的集合与实数集建立了一一对应关系 2 用角度制和弧度制来度量零角 单位不同 但数量相同 用角度制和弧度制度量任意非零角 单位不同 数量也不同 3 角度 与 弧度 可以按照 180 rad 这一等量关系进行相互转化 变式训练 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合 不包括边界 解题指南 先在 0 2 内确定终边在阴影区域内且在第一 二象限内的角的集合 然后加k k z 解析 30 150 终边在图中阴影区域内角的集合 不包括边界 是s k k k z 补偿训练 用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内 不包括边界 的角 的集合 解析 1 以ob为终边的330 角可看成 30 角 化为弧度 即而75 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 2k 2k k z 2 因为30 rad 210 rad 这两个角的终边所在的直线相同 因此终边在直线ab上的角为 k k z 而终边在y轴上的角为 k k z 从而终边落在阴影部分内的角的集合为 k k k z 类型三扇形弧长 面积公式的应用 典例 2015 淮安高一检测 已知扇形的周长为8cm 1 若该扇形的圆心角为2rad 求该扇形的面积 2 求该扇形的面积的最大值 并指出对应的圆心角 解题探究 本例中需要用到哪些公式 求扇形的面积的最大值的基本思路是什么 提示 需要用到弧长公式 l r和面积公式 s lr 求扇形的面积的最大值的基本思路是先建立扇形面积关于半径的函数 再求函数的最大值 解析 设扇形的半径为r 弧长为l 扇形面积为s 1 由题意得 2r l 8 l 2r 解得r 2 l 4 s lr 4 2 由2r l 8得l 8 2r r 0 4 则s lr 8 2r r 4r r2 r 2 2 4 当r 2时 smax 4 此时l 4 圆心角 2 延伸探究 1 变换条件 改变问法 典例条件下 若扇形面积为3cm2 求扇形的圆心角的弧度数 解析 设扇形的半径为r 弧长为l 圆心角为 扇形面积为s 由题意得 解得l 6 r 1或l 2 r 3 所以 6或 2 变换条件 改变问法 典例条件中 周长为8cm 改为 面积为8cm2 在 1 的条件下求该扇形的弧长 解析 设扇形的半径为r 弧长为l 扇形的面积为s 则由s r2得8 2 r2 所以r 所以l r 2 cm 方法技巧 弧度制下有关扇形弧长 面积问题的解题策略及其注意点 1 解题策略 明确弧度制下扇形弧长公式l r 扇形的面积公式s lr r2 其中l是扇形的弧长 是扇形的圆心角 涉及扇形的周长 弧长 圆心角 面积等的计算 关键是先分析题目已知哪些量求哪些量 然后灵活运用弧长公式 扇形面积公式直接求解或列方程 组 求解 2 注意点 在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负 看清角的度量制 选用相应的公式 扇形的周长等于弧长加两个半径长 补偿训练 已知扇形aob的圆心角 为 半径长r为6 求 1 弧ab的长 2 扇形所含弓形的面积 解题指南 1 将角度化为弧度 再根据公式求解弧长 2 利用扇形面积减去三角形面积 解析 1 l r 6 4 所以弧ab的长为4 2 s扇形oab lr 4 6 12 如图所示 过点o作od ab 交ab于d点 120 所以 aod 60 dao 30 于是有s oab ab od 2 6cos30 3 所以弓形的面积为s扇形oab s oab 12 所以弓形的面积是12 延伸探究 1 变换条件 本题圆心角 改为 应如何解答 解析 1 弧ab的长l r 6 2 2 s扇形 lr 2 6 6 因为oa ob aob 所以 aob是等边三角形 s oab ab oa sin 6 6 所以弓形的面积是s扇形 s oab 6 2 变换条件 半径r长为6 改为 周长为 3 求该扇形的面积 解析 设扇形的半径为r 由题意得 2r r 3 2r 3 解得r 所以扇形面积 易错案例弧度制下扇形的弧长和面积公式的应用 典例 2015 荆门高一检测 工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式 某班级想用布料制作一面如图所示的扇面 已知扇面展开的中心角为120 外圆半径为50cm 内圆半径为20cm 则制作这样一面扇面需要的布料为 cm2 用数字作答 取3 14 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是没有将角的单位化为弧度 实际上公式l r s r2中角