高三数学 知识点精析精练4 数列的概念和性质.doc

2014高三数学知识点精析精练4：数列的概念与性质【复习要点】【例题】【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.解：q=1时，又显然，q1 依题意；解之又，依题意，将代入得 【例2】 等差数列an 中，=30，=15，求使an0的最小自然数n。解：设公差为d，则或或或 解得： a33 = 30 与已知矛盾 或 a33 = - 15 与已知矛盾或a33 = 15 或 a33 = - 30 与已知矛盾an = 31+(n - 1) () 31 0 n63 满足条件的最小自然数为63。【例3】 设等差数列a的前n项和为s，已知s4=44,s7=35（1）求数列a的通项公式与前n项和公式；（2）求数列的前n项和tn。解：（1）设数列的公差为d，由已知s4=44,s7=35可得a1=17,d=-4a=-4n+21 (nn),s=-2n+19 (nn).（2）由a=-4n+210 得n, 故当n5时，a0, 当n6时，当n5时,t=s=-2n+19n 当n6时,t=2s5-s=2n-19n+90.【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。解：由 得 【例5】 已知数列：求证数列为等差数列，并求它的公差设，求的和。解：由条件，；故为等差数列，公差又知【例6】 已知数列1，1，2它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和sn；解：(1)记数列1，1，2为an，其中等比数列为an，公比为q；等差数列为bn，公差为d，则an =an +bn (nn）依题意，b1 =0，a1 =a1 +b1 =a1 =1 a=a+b=aq+b+d=1 a=a+b=aq2 +b+2d=2 由得d=-1, q=2, 【例7】 已知数列满足an+sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。解法1：由an+sn=n,当n=1时，a1=s1，a1+a1=1，得a1=当n=2时，a1+a2=s2，由a2+s2=2，得a1+2a2=2，a2=当n=3时，a1+a2+a3=s3，由a3+s3=3，得a1+a2+2a3=3a3=猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时,a1=1-,(1)式成立假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，则当n=k+1时,ak+1+sk+1=k+1,sk+1=sk+ak+12ak+1=k+1-sk 又ak=k+sk2ak+1=1+ak ak+1=即当n=k+1时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数n,都成立。解法2：由an+sn=n得，两式相减得：，即，即，下略【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。解：(1)设数列的公比为q由条件得(2)证明：当n=5，c50命题成立假设当当也成立由，对一切n5，都有cn0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。解：(1)由已知条件得当n=1时，故(2)由【例11】 两个数列、中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。解：(1)是等差数列(2)又，又【数列的概念与性质练习】一、选择题1设（ d ）abcd2等比数列中，那么的值为（ c ）abcd311等比数列 a 中，a=7，前三项之和 s=21，则公比q的值是( c ) （） 1 （） - （） 1或 - （） -1或4首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等比数列的第四项为（ b ）a8b8c6d不确定5已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（ b ）abcd 6数列an的前n项和sn=3n-2n2 (nn)，当n2时，就有（ d ） asnna1nan bsn nanna1 cna1snnan dnansn 0且时,(1)当n = 1时, (2)当(i)若q 1时, 则(ii)若0 q =0，f(n+1)f(n)。（2）f(n+1)f(n)，当n1时，f(n)的最小值为f(2)=s5-s3=必需且只须1且m2令t=则不等式等价于，解得：0t1即01，即-1logm(m-1)0或0logm(m-1)1，解之得：。5某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。(1)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)？(2)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)？解：(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款x元, 则105(1 + 105%) = x(1 + 95%) + x(1 + 85%) + x(1 + 75%) + + x,1051.5 = 10x + 450.05x,解得(元)(2)若向工商银行贷款, 设每年还款y元, 则105(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + + y其中1.0410 = (1