高三数学 章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入（1）.doc

2013届高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a，b且aa2b，b5a6b，c7a2b，则一定共线的三点是()aa，b，dba，b，ccb，c，dda，c，d 解析a由题意b2a4b2，故a，b，d共线2设p是abc所在平面内的一点，bb2，则()app0 bpp0cpp0 dppp0 解析b因为bb2，所以点p为线段ac的中点，故选b. 3已知o是abc所在平面内一点，d为bc边中点，且20，那么() a. b.2 c.3 d2 解析a由20可知，o是底边bc上的中线ad的中点，故. 4已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|.若(ab)c，则a与c的夹角为() a. b. c. d. 解析cab(1，2)a，所以a与c的夹角即ab与c的夹角的补角 设ab与c的夹角为，则cos ，故，则a与c的 夹角为.5 已知a(3,0)，b(0,2)，o为坐标原点，点c在aob内，且aoc45，设 (r)，则的值为() a1 b. c. d. 解析a如图，过c作cex轴于点e，则|oe|ce|2，所 以，即，所以(2,0) (3,0)，故.故选a.6 (2011湖南十二校联考)平面上有四个互异的点a、b、c、d，满足()() 0，则三角形abc是() a直角三角形 b等腰三角形 c等腰直角三角形 d等边三角形 解析b()()()()()( )()|2|20，故|，即abc是等腰三角形7(2011杭州月考)已知定义在复数集c上的函数f(x)满足f(x)则 f(1i)() a2 b0 c2 d2i 解析c(1i)r，f(1i)(1i)(1i)1i22.8如图所示，非零向量oa，ob，且bcoa，c为垂足，若oa(0)， 则() a. b. c. d. 解析abo，即bo(oo)o0|o|2oo0， 即2|a|2ab0，解得.9(2011济南一模)设a是实数，且是实数，则a() a. b1 c1 d2 解析b因为i是实数，所以a1.10已知点a(2,0)、b(3,0)，动点p(x，y)满足ppx2，则点p的轨迹是() a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线 解析dp(2x，y)，p(3x，y)，ppx2， (2x)(3x)y2x2，化简得y2x6.11已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为() a. b. c. d. 解析b由a(1,1)，2ab(4,2)，得b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量a，b的夹 角为，则cos ，.12 (2011宝坻质量调查)已知点a，b，c在圆x2y21上，满足20(其 中o为坐标原点)，又|，则向量在向量方向上的投影为() a1 b1 c. d 解析c由2()()0，得， 即o，b，c三点共线又|1，故向量在向量方向上的投影为 |cos.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos _. 解析a(3,3)，2ba(1,1)，b(1,2)， cos . 【答案】14如果复数z(br)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于_ 解析zi，由，得b0.【答案】015(2011宣城调研)已知i是虚数单位，复数z满足2i，则z_. 解析由题意得，ziii. 【答案】i16对于n个向量a1，a2，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得k1a1k2a2knan0成立，则称向量a1，a2，an是线性相关的按此规定，能使向量a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为_(只需写出一组值即可) 解析根据线性相关的定义， 得k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0 令k31，则k22，k14，k1，k2，k3的一组值为4,2,1.【答案】4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分) 如图，在任意四边形abcd中，e为ad的中点，f为bc的中点，证明： 2. 解析因为f为bc的中点，所以0， 连接af，df，则有 . 而， 又e为ad的中点，所以0. 所以2，所以2.18(12分)计算下列各式的值： (1)2； (2)； (3)i3. 解析(1)22i.(2)2i.(3)i3i3i3ii0.19(12分)已知abc中，c是直角，cacb，d是cb的中点，e是ab上一点，且ae2eb，求证：adce. 解析建立如图所示的直角坐标系，设a(a,0)，则b(0，a)，e(x，y)d是bc的中点，d.又2， 即(xa，y)2(x，ay)，解得(a,0)， ，aa0. ，即adce.20(12分)已知点a(2,0)、b(0,2)、c(cos ，sin )，o为坐标原点，且0.(1)若|oo|，求o与o的夹角；(2)若ab，求tan 的值 解析(1)由已知可得o(2,0)，o(cos ，sin )，且|oo|，化简得cos ，0，sin ，.又o(0,2)，coso，o.又o，o0，o，o.(2)a(cos 2，sin )，b(cos ，sin 2)，由ab，得(cos 2，sin )(cos ，sin 2)0，即(cos 2)cos sin (sin 2)0，化简得，sin cos ，sin2cos22sin cos ，即3tan28tan 30，解得tan .由得，sin cos 0且0，又|sin |cos |，tan .21(12分)在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y212x320的圆心为q，过点p(0,2)且斜率为k的直线与圆q相交于不同的两点a、b.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量oo与p共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由 解析(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为q(6,0)，过p(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理，得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点a、b等价于4(k3)2436(1k2)16(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则oo(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)4，而p(0,2)，q(6,0)，p(6，2)，oo与p共线等价于2(x1x2)6(y1y2)将代入上式，解得k，又k，不存在符合题意的常数k.22(12分)已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最