高中数学 圆锥曲线与方程知识详解 北师大版选修21.doc

圆锥曲线与方程 知识点详解一、曲线与方程1. 求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任意一点m的坐标。所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件p的点m的集合这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件p(m)，列出方程常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”2：性质1.求曲线方程应注意：（1）.先要判断题干是否给出坐标系；（2）.求出的方程是否与题干的条件等价要验证.2.掌握几种常见的求轨迹方程的方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、待定系数法。直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程。二、椭圆1、椭圆的定义用集合表示为p|pf1|+|pf2|=2a，其中f1、f2是两个定点，2a为定值，2a|f1f2|当2a=|f1f2|时，点p的轨迹为线段f1f2当2ab0。字母x通常写在前面。为了运算简单，有时也用整式形式，如ax2+by2=1（a0，b0)等。3、 求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：（1） 选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；（2） 定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。 实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。4、 椭圆的性质 （1）几何性质：位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称）数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a，2b；两准线之间距离为；焦点到对应准线距离（焦准距等等）离心率：，0eb0） （ab0）焦点：（c，0） （0，c）顶点：（a，0），（0，b） （0，a），（b，0）准线：x= y=5、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（法）。当直线与椭圆相交时，设直线l与椭圆（ab0）相交于a、b两点，ab中点为m（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径：（1）列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：。 不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。1、 椭圆（ab0）的参数方程为（为参数）； 椭圆（ab0）的参数方程为（为参数）。三、抛物线1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。2、课本p.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有： （1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。 （2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的1/4值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。5、抛物线的简单几何性质 （1）自身固有的几何性质 位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点； 数量关系：焦点到准线距离为p。离心率e=1，通径长为2p （2）解析性质：以抛物线y2=2px（p0）为例 范围：x0，yr 基本参数：焦点f（，0），准线x=，顶点（0，0） 焦半径：抛物线y2=2px（p0）上点p（x0，y0）到焦点f距离r=x0+ 抛物线y2=-2px（p0）上点p（x0，y0）到焦点f距离r=-x0 抛物线x2=2py（p0）上点p（x0，y0）到焦点f距离r=y0+ 抛物线x2=-2py（p0）上点p（x0，y0）到焦点f距离r=-y06、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程。所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形。四、双曲线1、双曲线的定义用集合表示为p|pf1|-|pf2|=2a，2a0，f1、f2是定点，2a|f1f2|。当2a=|f1f2|时，点p的轨迹是两条射线（线段f1f2的反向延长线）。当2a0，b0）。若记左焦点为f1（-c，0），右焦点为f2（c，0），则|pf1|pf2|时，点p在双曲线右支上；|pf1|0，b0），若记下焦点为f1（-c，0），上焦点为f2（c，0），则|pf1|pf2|时，点p在双曲线的上支上；|pf1|b，ac，b与c无大小关系；双曲线中，ca，cb，a与b无大小关系。3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。4、 双曲线的几何性质分为两大类（1） 自身固有的几何性质： 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直； 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为； 焦准距（焦参数）； 离心率，e1，e越大，双曲线开口越阔。（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线方 程（a0，b0）（a0，b0）顶 点（a，0），（0，b）（0，a），（b，0）焦 点f1（-c，0），f2（c，0）f1（0，-c），f2(0，c)准 线x=y=渐近线y=y=对称性关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称范 围|x|a，yr|y|a，xr焦半径p在左支：|pf1|=-a-ex0,|pf2|=a-ex0p在右支：|pf1|=ex0+a，|pf2|=ex0-ap在下支：|pf1|=-a-ey0，|pf2|=a-ey0p在上支：|pf1|=ey0+a，|pf2|=ey0-a5、双曲线的定义与椭圆定义相同。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。6、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程。直线与双曲线相交时，基本处理途径有二