高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合课件 理 新人教版.ppt

10 2排列与组合 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 排列与组合的概念 知识梳理 一定的顺序 2 排列数与组合数 1 排列数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用表示 2 组合数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 的个数 叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 所有不同 排列 组合 所有不同 3 排列数 组合数的公式及性质 n n 1 n 2 n m 1 1 n 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 3 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 4 n 1 n n n 5 6 考点自测 1 2016 四川 用数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数a 24b 48c 60d 72 答案 解析 由题可知 五位数要为奇数 则个位数只能是1 3 5 分为两步 先从1 3 5三个数中选一个作为个位数有种情况 再将剩下的4个数字排列得到种情况 则满足条件的五位数有 72 个 故选d 2 6把椅子摆成一排 3人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为a 144b 120c 72d 24 答案 解析 插空法 先排3个空位 形成4个空隙供3人选择就座 因此任何两人不相邻的坐法种数为 4 3 2 24 3 教材改编 用数字1 2 3 4 5组成的无重复数字的四位数 其中偶数的个数为a 8b 24c 48d 120 答案 解析 末位数字排法有种 其他位置排法有种 共有 48 种 4 某高三毕业班有40人 同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言 那么全班共写了 条毕业留言 用数字作答 答案 解析 1560 依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数 所以全班共写了 40 39 1560 条 留言 5 某班级要从4名男生 2名女生中选派4人参加某次社区服务 如果要求至少有1名女生 那么不同的选派方案有 种 解析 答案 14 题型分类深度剖析 题型一排列问题 例1 1 3名男生 4名女生 选其中5人排成一排 则有 种不同的排法 2 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 种 2520 当最左端排甲时 不同的排法共有种 当最左端排乙时 甲只能排在中间四个位置之一 则不同的排法共有种 故不同的排法共有 120 96 216 种 216 答案 解析 答案 解析 引申探究1 本例 1 中若将条件 选其中5人排成一排 改为 排成前后两排 前排3人 后排4人 其他条件不变 则有多少种不同的排法 前排3人 后排4人 相当于排成一排 共有 5040 种 排法 解答 2 本例 1 中若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 男 女各站在一起 其他条件不变 则有多少种不同的排法 解答 相邻问题 捆绑法 男生必须站在一起 是男生的全排列 有种排法 女生必须站在一起 是女生的全排列 有种排法 全体男生 女生各视为一个元素 有种排法 根据分步乘法计数原理 共有 288 种 排法 3 本例 1 中若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 男生不能站在一起 其他条件不变 则有多少种不同的排法 解答 不相邻问题 插空法 先安排女生共有种排法 男生在4个女生隔成的5个空中安排共有种排法 故共有 1440 种 排法 4 本例 1 中若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 甲不站排头也不站排尾 其他条件不变 则有多少种不同的排法 解答 先安排甲 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲 有 5 种 排法 再安排其他人 有 720 种 排法 所以共有 3600 种 排法 排列应用问题的分类与解法 1 对于有限制条件的排列问题 分析问题时有位置分析法 元素分析法 在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置 对于分类过多的问题可以采用间接法 2 对相邻问题采用捆绑法 不相邻问题采用插空法 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 思维升华 跟踪训练1由0 1 2 3 4 5这六个数字组成的无重复数字的自然数 求 1 有多少个含2 3 但它们不相邻的五位数 解答 2 有多少个含数字1 2 3 且必须按由大到小顺序排列的六位数 解答 题型二组合问题 例2 1 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法的种数是a 60b 63c 65d 66 解析 答案 因为1 2 3 9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数 要使和为偶数 则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数 故有 66 种 不同的取法 2 要从12人中选出5人去参加一项活动 a b c三人必须入选 则有 种不同选法 答案 解析 36 只需从a b c之外的9人中选择2人 即有 36 种 不同的选法 引申探究1 本例 2 中若将条件 a b c三人必须入选 改为 a b c三人都不能入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 由a b c三人都不能入选只需从余下9人中选择5人 即有 126 种 不同的选法 2 本例 2 中若将条件 a b c三人必须入选 改为 a b c三人只有一人入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 3 本例 2 中若将条件 a b c三人必须入选 改为 a b c三人至少一人入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 组合问题常有以下两类题型变化 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 或 至多 含有几个元素的组合题型 解这类题必须十分重视 至少 与 至多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 思维升华 跟踪训练2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 解答 某一种假货必须在内的不同取法有561种 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 从34种可选商品中 选取3种 某一种假货不能在内的不同取法有5984种 解答 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 从20种真货中选取1件 从15种假货中选取2件有 2100 种 恰有2种假货在内的不同的取法有2100种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 题型三排列与组合问题的综合应用 命题点1相邻问题例3 2017 济南调研 一排9个座位坐了3个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法种数为a 3 3 b 3 3 3c 3 4d 9 答案 解析 把一家三口看作一个排列 然后再排列这3家 所以有 3 4种坐法 命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 答案 解析 120 先安排小品节目和相声节目 然后让歌舞节目去插空 安排小品节目和相声节目的顺序有三种 小品1 小品2 相声 小品1 相声 小品2 和 相声 小品1 小品2 对于第一种情况 形式为 小品1歌舞1小品2 相声 有 36 种 安排方法 同理 第三种情况也有36种安排方法 对于第二种情况 三个节目形成4个空 其形式为 小品1 相声 小品2 有 48 种 安排方法 由分类加法计数原理知共有36 36 48 120 种 安排方法 命题点3特殊元素 位置 问题例5 2016 郑州检测 从1 2 3 4 5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数 当三个数字中有2和3时 2需排在3的前面 不一定相邻 这样的三位数有 个 答案 解析 51 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 1 相邻问题捆绑法 在特定条件下 将几个相关元素视为一个元素来考虑 待整个问题排好之后 再考虑它们 内部 的排列 2 相间问题插空法 先把一般元素排好 然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中 它与捆绑法有同等作用 3 特殊元素 位置 优先安排法 优先考虑问题中的特殊元素或位置 然后再排列其他一般元素或位置 4 多元问题分类法 将符合条件的排列分为几类 而每一类的排列数较易求出 然后根据分类加法计数原理求出排列总数 思维升华 跟踪训练3 1 2016 山西四校联考三 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流 则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 答案 解析 a 150b 180c 200d 280 分两类 一类 3个班分派的毕业生人数分别为2 2 1 则有 90 种 分派方法 另一类 3个班分派的毕业生人数分别为1 1 3 则有 60 种 分派方法 所以不同分派方法种数为90 60 150 故选a 2 将甲 乙 丙 丁 戊五位同学分别保送到北大 上海交大和浙大3所大学 若每所大学至少保送1人 甲不能被保送到北大 则不同的保送方案共有a 150种b 114种c 100种d 72种 答案 解析 先将五人分成三组 因为要求每组至少一人 所以可选择的只有2 2 1或者3 1 1 所以共有 25 种 分组方法 因为甲不能被保送到北大 所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择 剩下的两组无限制 一共有4种方法 所以不同的保送方案共有25 4 100 种 典例有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 排列 组合问题 现场纠错系列14 错解展示 现场纠错 纠错心得 1 解排列 组合问题的基本原则 特殊优先 先分组再分解 先取后排 较复杂问题可采用间接法 转化为求它的对立事件 2 解题时要细心 周全 做到不重不漏 解析先从一等品中取1个 有种取法 再从余下的19个零件中任取2个 有c种不同取法 共有 2736 种 不同取法 答案2736 返回 解析方法一将 至少有1个是一等品的不同取法 分三类 恰有1个一等品 恰有2个一等品 恰有3个一等品 由分类加法计数原理 知有cc cc c 1136 种 方法二考虑其对立事件 3个都是二等品 用间接法 c c 1136 种 答案1136 返回 课时作业 1 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩 购票后排队依次入园 为安全起见 首尾一定要排两位爸爸 另外 两个小孩一定要排在一起 则这6人的入园顺序排法种数为a 48b 36c 24d 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 黄山月考 某小区有排成一排的7个车位 现有3辆不同型号的车需要停放 如果要求剩余的4个车位连在一起 那么不同的停放方法的种数为a 16b 18c 24d 32 答案 解析 将四个车位捆绑在一起 看成一个元素 先排3辆不同型号的车 在三个车位上任意排列 有 6 种 排法 再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中 有4种方法 故共有4 6 24 种 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 在航天员进行的一项太空实验中 要先后实施6个程序 其中程序a只能出现在第一或最后一步 程序b和c在实施时必须相邻 问实验顺序的编排方法共有a 34种b 48种c 96种d 144种 答案 解析 程序a有 2 种 结果 将程序b和c看作一个元素与除a外的3个元素排列有 48 种 由分步乘法计数原理 知实验编排共有2 48 96 种 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 将a b c d e排成一列 要求a b c在排列中顺序为 a b c 或 c b a 可以不相邻 这样的排列数有a 12种b 20种c 40种d 60种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2016 长沙模拟 某校高二年级共有6个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2017 汉中质检 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有a 24对b 30对c 48对d 60对 答案 解析 正方体中共有12条面对角线 任取两条作为一对共有 66 对 12条对角线中的两条所构成的关系有平行 垂直 成60 角 相对两面上的4条对角线组成的 6 对 组合中 平行有2对 垂直有4对 所以所有的平行和垂直共有3 18 对 所以成60 角的有 66 18 48 对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 北京西城区期末 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察 要求每个兴趣小组的带队教师至多2人 但其中甲教师和乙教师均不能单独带队 则不同的带队方案有 种 用数字作答 答案 解析 54 第一类 把甲 乙看作一个复合元素 另外3人分成两组 再分配到3个小组中 有 18 种 第二类 先把另外的3人分配到3个小组 再把甲 乙分配到其中2个小组 有 36 种 根据分类加法计数原理可得 共有36 18 54 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2017 福州质检 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有 种 答案 解析 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 若把英语单词 good 的字母顺序写错了 则可能出现的错误方法共有 种 答案 解析 11 把g o o d4个字母排一列 可分两步进行 第一步 排g和d 共有种排法 第二步 排两个o 共一种排法 所以总的排法种数为 12 其中正确的有一种 所以错误的共有 1 12 1 11 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 将a b c d e f六个字母排成一排 且a b均在c的同侧 则不同的排法共有 种 用数字作答 480 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 12 2017 青岛月考 2016年某通讯公司推出一组手机卡号码 卡号的前七位数字固定 后四位数从 0000 到 9999 共10000个号码中选择 公司规定 凡卡号的后四位恰带有两个数字 6 或恰带有两个数字 8 的一律作为 金猴卡 享受一定优惠政策 如后四位数为 2663 8685 为 金猴卡 求这组号码中 金猴卡 的张数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10