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立体几何 第七章 第43讲空间向量及其运算 栏目导航 1 空间向量的有关概念 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 1 b a xa yb 3 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫做这个空间的一个基底 1e1 2e2 3e3 a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b b a a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 思维辨析 在括号内打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对任意两个空间向量a b 若a b 0 则a b 3 若 a b c 是空间的一个基底 则a b c中至多有一个零向量 4 若a b 0 则 a b 是钝角 a a 5 已知a 2 4 x b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值为 1或 3 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 一空间向量的线性运算 二共线定理 共面定理的应用 三空间向量数量积的应用 例3 如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 c 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e是a1b上的点 f是ac上的点 且a1e 2eb cf 2af 则ef与平面a1b1cd的位置关系为 ef 平面a1b1cd 4 2017 湖南张家界模拟 如图所示 四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面为平行四边形 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求证 ac1 bd 3 求bd1与ac夹角的余弦值 错因分析 将a b同向和a b混淆 没有搞清a b的意义是a b方向相同或相反 例1 已知向量a 1
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