高中数学 第二章 统计 变量间的相关关系学习过程 新人教A版必修3.doc

2.3变量间的相关关系学习过程知识点1：相关关系：思考探究： 1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？ 2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近 栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。知识点2：散点图：探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。思考探究：1、对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？ 2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可 以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形称为散点图。知识点3：线性相关、回归直线方程和最小二乘法： 在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。我们所画的回归直线应该使散点图中的各点在整体上尽可能的与其接近。我们怎么来实现这一目的呢？说一说你的想法。设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数。则i=bxi+a（i=1，2，n）.于是得到各个偏差yii =yi（bxi+a）（i=1，2，n）显见，偏差yii 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和q=（y1bx1a）2+（y2bx2a）2+（ynbxna）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。记q=这样，问题就归结为：当a、b取什么值时q最小，a、b的值由下面的公式给出：其中=，=，a为回归方程的斜率，b为截距。求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。学习结论1相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关叫做相关关系。2散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形称为散点图。3线性相关、回归直线方程和最小二乘法：（1）如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。（2）求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。典型例题例1、下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（ ）a、角度和它的余弦值 b、正方形边长和面积c、正n变形的边数和内角度数之和 d、人的年龄和身高答案：d解析：函数关系是一种非常确定的关系，选项a、b、c、都是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同身高的人，故选d。例2、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ，）答案：（2）所求的回归方程为 （3）19.65吨。解析：(1)散点图如下 (2) ； 所求的回归方程为 (3) 时， (吨) 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)例3、以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系：销售经验（年）13446810101113年销售额（千元）809792102103111119123117136（1）依据这些数据画出散点图并作直线=78+4.2x，计算（yii）2；（2）依据这些数据由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算；（3）比较（1）和（2）中的残差平方和的大小解析：（1）散点图与直线=78+4.2x的图形如下图，对x=1，3，13，有i=82.2，90.6，94.8，94.8，103.2，111.6，120，120，124.2，132.6，（yii）2=179.28（2）=xi=7，lxx=（xi）2=142，=108