高中数学《任意角、弧度》教案（1） 苏教版必修4(1).doc

任意角、弧度教案第 1 课时：1.1.1 任意角【三维目标】：一、知识与技能1. 使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；2.能在到范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合二、过程与方法1.通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；2.通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；3.讲解例题，总结方法，巩固练习.三、情感、态度与价值观1. 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分。角的概念推广以后，知道角之间的关系.2.理解掌握终边相同角的表示方法，树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，学会运用运动变化的观点认识事物，并由此深刻理解推广后的角的概念.【教学重点、难点与关键】：重点：任意角的概念难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来；关键：理解终边相同的角的意义【学法与教学用具】：1.学法：在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示，以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、三角板、圆规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角。利用这些角，我们已能表示圆周上某些点。但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的。如点绕圆心旋转一周半，所在位置怎样用角来表示？在生活中，也有类似情形。如在体操、跳水中，有“转体”、“翻腾两周半”这样的动作名称，“”在这里也是用来表示旋转程度的一个角。是怎样的一个角？ 二、研探新知1角的概念的推广“旋转”形成角一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。如图1-1-1所示，射线绕着端点按箭头所示方向旋转到便形成角点叫做角的顶点，射线、分别叫做角的始边和终边。因此就是旋转两周所形成的角。 ba终边始边顶点o +a_po 图1-1-1 图1-1-2【说明】：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“正角”、“负角”、“0角”的概念我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角【说明】：零角的始边和终边重合。用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。角的大小比较与实数类似。2. “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角：在直角坐标系中，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来：（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：都是第一象限角；是第四象限角。（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。【说明】：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限。.3终边相同的角 【思考】：（1），角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与角终边相同的角的集合吗？ 一般地，与角终边相同的角的集合为：即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和【注意】：(1)； (2) a是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍例如，390、-330、1470、-1770是终边相同的角，它们都可以表示成一个0到360的角与个周角的和30=30+0360 390=30+360 -330=30-360 1470=30+4360 -1770=30-5360 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材例1） 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1） （2） （3） 【举一反三】：1下列各组角中，终边相同的是（ ）与 与 与 与2手表上时针转过2小时，则它转过的度数可记为（ ） 3与的终边相同的角组成的集合可表示为_例2（教材例2）已知a与角终边相同，判断是第几象限角。注：此题蕴涵着分类讨论的思想【举一反三】：1由第二象限角组成的集合可表示为_2若是第二象限角，则与都不是第_象限角3若是第三象限角，则是第_象限角。4若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？【触类旁通】：1.（1）如果角与的终边关于轴对称，则它们之间的关系是_（2）如果角与的终边关于直线对称，则它们之间的关系是_例3 在同一直角坐标系中用阴影画出集合，,并写出和【举一反三】分别写出：终边落在轴负半轴上的角的集合；终边落在轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，间的角，根据教材约定它包括 ，但不包含四、巩固深化，反馈矫正 1在直角坐标系中作出角，角的终边.2写出与37023终边相同角的集合，并把中在720360间的角写出来.3（1）若角的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角的集合是 （2）若角与的终边在一条直线上，则与的关系是 （3）与角终边相同的角的集合是_（4）若角的终边为第二象限角平分线，则_（5）若角的终边为二、四象限角平分线，则_4（思考）若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 若角与的终边关于原点对称，则与的关系是 五、归纳整理，整体认识1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?2.象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?3.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。4.你在这节课体会是什么？ 六、承上启下，留下悬念 1手表上时针转过3小时45分钟，则它转过的度数是_2与角的终边相同的角可表示为集合_3如果角与的终边关于原点对称，则它们之间的关系是_4终边落在射线上的角的集合为_5已知集合，,，（1）请你用列举法写出集合、的部分元素；（2）请你用一个关系式表示集合、之间的关系；6已知角的终边与的终边重合.（1）请你写出由角组成的集合；（2）试问是第几象限角？（3）试问不可能是第几象限角？7在同一直角坐标系中用阴影画出集合，,并写出和8预习教材弧度制，预习提纲（弄清楚下列问题）：(1)弧度的单位符号(2)1弧度的角的定义(3)弧度制的定义(4)角度与弧度的换算公式七、板书设计（略）八、课后记：第 2 课时：1.1.2 弧度制【三维目标】：一、知识与技能1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数2.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系。3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；二、过程与方法1.通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；2.以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.3.通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。三、情感、态度与价值观1. 通过弧度制的学习，使学生理解并认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；2.在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美； 3.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。4.教师可以向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，这有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性。欧拉的有关事迹有助于陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新精神。【教学重点与难点】：重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。难点：弧度的概念关键：弄清1弧度的角的含义是建立弧度概念的关键【学法与教学用具】：1. 学法：在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；2. 教学用具：计算器、多媒体、实物投影仪、三角板.【教学方法】：通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题在初中几何里，我们学习过角的度量，1的角是怎样定义的呢?（周角的为1的角）这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度二、研探新知长度等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1 。用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。若圆的半径为，圆心角所对的圆弧长为，则其弧度数就是；若半径为，圆心角所对的圆的弧长为，则其弧度数就是，故有 度【探究】：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向【注意】：（1）用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位。例如1 ，2 ，可以分别写成1，2，sinp表示p 角的正弦；（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度030456090120135150180弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210225240270300315330360弧度7/65/44/33/25/37/411/62 （3）应确立如下的概念：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.正角零角负角正实数零负实数任意角的集合 实数集r 弧长公式：由公式： （比公式简单） 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 扇形面积公式： 其中是扇形弧长，是圆的半径。（这比扇形面积公式 要简单） 说明：弧度制下的公式要显得简洁的多了；以上公式中的必须为弧度单位三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材例1）把下列各角从弧度化为度：（1） （2）解：（1） （2）【举一反三】1.将化为角度制是_，5是第_象限角。2.若为第四象限角，则为第_象限角3.有以下四组角：；,，其中终边相同的是（ ） .和 .、和 .、和 .、和例2（教材例1）把下列各角从度化为弧度：（1）；（2）【举一反三】1.将化为弧度制是_2.比较大小：3_, _3.集合，则（ ）. . . .【触类旁通】1. 在同一直角坐标系中用阴影画出集合：，,并写出和2.已知集合，试求例3 （教材例3）已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的面积。ab解：设扇形的半径为，弧长为，则有，解得，故扇形的面积为【举一反三】1地球的赤道半径为6370千米，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是_，1弧度的圆心角所对的弧长是_2若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积等于_3一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？例4 已知一扇形的周长为c(c0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.【举一反三】现有一根长为的铁丝，学生甲用它围成一个面积最大的矩形，学生乙用它围成一个面积最大的扇形，则两人围成的图形中，哪个面积较大？试说明理由。四、巩固深化，反馈矫正 1把45化成弧度。解：4545radrad.2把rad化成度。解：rad180108.3.将下列各角化成2k+（k的形式。（1）； （2）4.写出阴影部分的角的集合：5圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。6已知扇形的周长是6