高中数学 第二章 数列 数列求和习题课课件 新人教A版必修5.ppt

习题课 数列求和 1 等差数列 an 的前n项和设等差数列 an 的公差是d 则2 等比数列的前n项和公式数列 an 是公比为q的等比数列 则当q 1时 sn na1 探究一 探究二 探究三 探究一分组法求和当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列 但如果它的通项公式可以拆分为几项的和 而这些项又构成等差数列或等比数列 那么就可以用分组法求和 即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 规律总结求数列的前n项和时 一般先求出通项公式 再根据通项公式的特点选择合适的方法求解 探究一 探究二 探究三 变式训练1 已知 an 是等差数列 满足a1 3 a4 12 数列 bn 满足b1 4 b4 20 且 bn an 为等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前n项和sn 探究一 探究二 探究三 解 1 设等差数列 an 的公差为d 所以an a1 n 1 d 3n n 1 2 设等比数列 bn an 的公比为q 所以bn an b1 a1 qn 1 2n 1 所以bn 2n 1 3n n 1 2 2 由 1 知bn 3n 2n 1 所以sn b1 b2 b3 bn 3 6 9 3n 20 21 22 2n 1 探究一 探究二 探究三 探究二错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 用错位相减法求和时 应注意 在写出 sn 与 qsn 的表达式时 应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 若公比是参数 字母 则应先对参数加以讨论 一般情况下分为等于1和不等于1两种情况分别求和 探究一 探究二 探究三 典型例题2已知正项等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 12 且2a1 a2 a3 1成等比数列 1 求 an 的通项公式及sn 2 记的前n项和为tn 求tn 思路分析 1 列方程组求出等差数列 an 的首项和公差 2 利用错位相减法求tn 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 变式训练2 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设证明数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 探究一 探究二 探究三 1 证明 an 1 2an 2n bn 1 bn 1 即bn 1 bn 1 b1 1 故数列 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 解 由 1 知 bn n an n 2n 1 则sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 2sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 两式相减 得sn n 2n 20 21 2n 1 n 2n 2n 1 探究一 探究二 探究三 探究三裂项相消法求和裂项相消法是数列求和的一种重要方法 它的基本思想是将数列的每一项拆成两项 裂成两项 并使它们在相加时除了首 尾的各一项或少数几项外 其余项都能前后相抵消 进而可求出数列的前n项和 裂项相消法求数列的和 主要适用于数列的通项公式是分式 且分母是两个关于n的一次因式的积 常见的裂项有 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 典型例题3已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为sn 1 求an及sn 2 令 n n 求数列 bn 的前n项和tn 思路分析 先用等差数列的通项公式与前n项和公式求出an与sn 然后将an代入求出bn 用裂项相消法求数列 bn 的前n项和tn 探究一 探究二 探究三 解 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由于a3 7 a5 a7 26 a1 2d 7 2a1 10d 26 解得a1 3 d 2 an 2n 1 sn n n 2 探究一 探究二 探究三 2 an 2n 1 4n n 1 故tn b1 b2 bn 探究一 探究二 探究三 温馨提示使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 可以多写出几项的和 从中寻找出规律 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 12345 1 数列 1 nn 的前n项和为sn 则s2016等于 a 1008b 1008c 2016d 2016解析 s2016 1 2 3 4 2013 2014 2015 2016 1 2 3 4 2013 2014 2015 2016 1008 答案 a 12345 12345 3 如果lgx lgx2 lgx10 110 那么lgx lg2x lg10 x 解析 由已知 1 2 10 lgx 110 55lgx 110 lgx 2 lgx lg2x lg10 x 2 22 210 211 2 2046 答案 2046 12345 4 已知数列 an 的通项公式是an 2n 3n 1 则数列 an 的前n项和sn 解析 an 2n 3n 1 sn 2 22 23 2n 3 1