高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法课件2 北师大版必修4.ppt

2 2从位移的合成到向量的加法2 2 1向量的加法 知识提炼 1 向量的加法 1 定义 求两个向量 和的运算 2 运算法则 a b 2 向量加法的运算律 1 交换律 a b 2 结合律 a b c a 特别地 对于零向量与任一向量a的和有0 a b a b c a 0 a 即时小测 1 思考下列问题 1 两个向量的和向量方向如何确定 提示 根据向量加法的三角形法则 即 首尾相接 起点指向终点 2 力的合成与向量的加法有着怎样的关系 提示 力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型 2 等于 a 0b 0c 2d 2 解析 选b 如图 由向量加法的运算法则可知 3 在四边形abcd中 则 a abcd一定是矩形b abcd一定是菱形c abcd一定是正方形d abcd一定是平行四边形 解析 选d 由知a b c d构成的四边形一定是平行四边形 4 化简 解析 原式 答案 5 在正方形abcd中 边长为1 则 a b 解析 a b 所以 a b 答案 知识探究 知识点1向量的加法法则观察图形 回答下列问题 问题1 三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同 问题2 两个向量共线时怎样求和 问题3 多个向量相加时 运用哪个法则求解 总结提升 对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解 1 两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和 平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和 当两个向量不共线时 两个法则是一致的 如图所示 平行四边形法则 又因为 三角形法则 2 在使用三角形法则时 应注意 首尾相接 在使用平行四边形法则时相加向量共起点 3 多个向量相加的运算法则推广 两个向量相加有三角形法则 多个向量相加怎么办呢 我们知道 两个向量相加的三角形法则的物理模型是位移的合成 类似地 多个向量的相加 也可以用位移合成 即向量求和的三角形法则可推广到多个向量求和的多边形法则 n个向量经过平移 顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合 组成一个向量折线 这n个向量的和等于折线起点到终点的向量 即 特别地 知识点2向量加法的运算律观察图形 回答下列问题 问题1 向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗 问题2 任意两个向量相加都可以用平行四边形法则吗 问题3 向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗 总结提升 1 向量加法的交换律在图 中的平行四边形abcd中 故a b b a 即向量加法满足交换律 当向量a b至少有一个为零向量时 交换律显然成立 当a b为非零向量且共线时 1 当a b同向时 向量a b与a同向 且 a b a b 向量b a与b同向 且 b a b a 故a b b a 2 当a b反向时 不妨设 a b a b与a同向 且 a b a b b a与a同向 且 b a a b 故a b b a 2 向量加法的结合律在图 中 所以从而 a b c a b c 即向量加法满足结合律 3 向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立 恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的 在进行多个向量的加法运算时 可以按照任意的次序和任意的组合进行 如 a b c d a d b c 题型探究 类型一向量求和 典例 1 如图所示 四边形abcd是平行四边形 e f g h分别是所在边的中点 点o是对角线的交点 则下列各式正确的是 a 和 b 和 c 和 d 和 2 如图 已知梯形abcd ad bc 则 解题探究 1 解答本题可用向量的哪些知识 提示 显然可用向量的加法的平行四边形法则及相等向量判断 2 运用向量加法的结合律应如何结合较好 提示 一个向量的终点是另一个向量的起点时 两个向量两两结合较好 解析 1 选a 由向量加法的平行四边形法则知所以 正确 因为又因为所以 不正确 因为又因为 而所以 正确 因为所以 不正确 2 答案 方法技巧 向量加法运算律的应用原则及注意点 1 应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律 使各向量 首尾相接 通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 2 注意点 三角形法则强调 首尾相接 平行四边形法则强调 起点相同 向量的和仍是向量 向量加法的三角形法则和平行四边形法则实质上是向量加法的几何意义 变式训练 解析 方法一 方法二 答案 类型二利用向量的加法法则作图 典例 如图 已知a b 分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出a b 解题探究 如何作不共线的两个向量的和 提示 在平面内任取一点a 作 a 然后利用三角形法则或平行四边形法则 作进而可得 解析 如图所示 a b 延伸探究 1 变换条件 如果两个向量变为如图所示 作出a b 解析 方法一 在平面内任意取一点o 作如图 方法二 在平面内任意取一点o 以oa ob为邻边作 oacb 且连接oc 则 a b 如图 2 变换条件 若本例再增加一个向量c 如图 利用三角形法则作出a b c 解析 如图 在平面内任取一点o 作 方法技巧 利用向量加法的两种法则作图的方法 补偿训练 若正方形abcd的边长为1 试作出向量a b c 解析 根据平行四边形法则可知 根据三角形法则 延长ac 在ac的延长线上作如图 延伸探究 1 改变问法 本题条件不变 求 a b c 解析 因为 2 变换条件 如图 o为 abc内一点 求作b c a 解析 方法一 如图 以为邻边作 obdc 连接则 方法二 如图 作连接ad 则 类型三向量加法的应用 典例 如图 o是四边形abcd对角线的交点 使得求证 四边形abcd是平行四边形 解题探究 证明平行四边形的方法有哪些 本例可从什么角度入手 提示 可证一组对边平行且相等 也可证对角线互相平分 本例可证进而可得abdc 解析 因为所以所以abdc 所以四边形abcd是平行四边形 延伸探究 本例的条件不变 在bd的延长线和反向延长线上各取一点f e 使be df 求证 四边形aecf是平行四边形 证明 因为四边形abcd是平行四边形 所以因为be df 且的方向相同 所以所以即ae与fc平行且相等 所以四边形aecf是平行四边形 方法技巧 应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤 1 表示 用向量表示相关的量 将所有解决的问题转化为向量的加法问题 2 运算 应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则 进行相关运算 3 还原 根据向量运算的结果 结合向量共线 相等概念回答原问题 变式训练 一架救援直升飞机从a地沿北偏东60 方向飞行了40km到达b地 再由b地沿正北方向飞行40km到达c地 求此时直升飞机与a地的相对位置 解题指南 利用向量加法的三角形法则 知是线段ac的长度 解析 如图 设分别是直升飞机的两次位移 则表示两次位移的合位移 即在rt abd中 在rt acd中 cad 60 即此时直升飞机位于a地北偏东30 方向 且距离a地40km处 补偿训练 p是 abc内的一点 则 abc的面积与 abp的面积之比为 解析 如图 d为bc的中点 则所以p为 abc的重心 故c到ab距离为p到ab距离的3倍 即若 abc中ab边上的高为h 则 abp中ab边上的高为h 所以答案 3 易错案例向量的求和 典例 化简 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因在于对向量的加法运算的结果没有正确理解 平面向量的加法运算的结果仍是一个向量 特别对于结果为零向量的运算 往往容易出现符号方面的错误 认为结果为零而将结果0错误地写成