优化方案高中数学 第二章 统计 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教A版必修3.doc

22.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1问题导航(1)什么是众数、中位数、平均数、方差、标准差？(2)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？(3)方差与标准差的联系与区别是什么？2例题导读通过对例1的学习，理解标准差的意义；通过对例2的学习，学会在实际生活中，如何用平均数与标准差来进行估计1众数、中位数、平均数(1)众数、中位数、平均数的概念众数：在一组数据中，出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数平均数：指样本数据的算术平均数即(x1x2xn)(2)众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高矩形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；表示样本数据所占频率的等分线平均数平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点2.标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，计算时通常用公式s显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小(2)方差：标准差s的平方s2，即s2(x1)2(xn)2叫做这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4；()(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半；()(3)方差与标准差具有相同的单位；()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变()解析：(1)中的众数应为4和5；(2)正确；(3)二者单位不一致；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变答案：(1)(2)(3)(4)2已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()a平均数中位数众数b平均数中位数众数c中位数众数bc bbcaccab dcba解析：选d.总和为147，a14.7；样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c17；从小到大排列，中间一位，或中间二位的平均数，即b15.(2)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分是79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议解：由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数是79，平均数为79，说明平均水平与甲班相同，而标准差较小说明乙班分数大多数都集中在79分左右，高分人数和低分人数都较少，建议培养高分学生，提高平均水平用频率分布表或直方图求数字特征已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率120.5，122.5)122.5，124.5)124.5，126.5)126.5，128.5)128.5，130.5合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数(链接教材p76例1)解(1)分组频数频率120.5，122.5)20.1122.5，124.5)30.15124.5，126.5)80.4126.5，128.5)40.2128.5，130.530.15合计201(2)频率分布直方图如图：(3)在124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.又前两个小矩形的频率和为0.25.设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x0.20.25，得x1.25.中位数为124.51.25125.75.事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：121.50.1123.50.15125.50.4127.50.2129.50.15125.8，平均数的精确值为125.75.方法归纳利用频率分布直方图求数字特征：众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两侧直方图的面积相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数2(1)(2015福建检测)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x，则()amem0 bmem0cmem0 dm0memem0，故选d.(2)某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数；高一参赛学生的平均成绩解：用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x0.040.2，得x5，中位数为60565.依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67分标准差、方差的应用甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定(链接教材p77例2)解(1) 甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定互动探究在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解：甲的数据为9910，10010，9810，10010，10010，10310，平均数为10010110，方差仍为(109110)2(110110)2(108110)2(110110)2(110110)2(113110)2.方法归纳在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性3(2014高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()a.，s21002 b.100，s21002c.，s2 d.100，s2解析：选d.，yixi100，所以y1，y2，y10的均值为100，方差不变，故选d.数学思想分类讨论思想在解决统计问题中的应用某班4个小组的人数为10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数解该组数据的平均数为(x28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论(1)当x8时，原数据按从小到大的顺序排列为x，8，10，10，其中位数为(108)9.若(x28)9，则x8，此时中位数为9.(2)当8x10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x，10，10，其中位数为(x10)若(x28)(x10)，则x8，而8不在810时，原数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，x，其中位数为(1010)10.若(x28)10，则x12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.感悟提高在解决问题时，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，这就需要对条件进行分类讨论当在数据中有未知数x求其中位数时，因x的取值不同，所以数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不同，故中位数也不同，这就是本题分类讨论的原因1一组数据的方差一定是()a正数 b负数c任意实数 d非负数解析：选d.方差可为0和正数2(2015长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()a中位数为83 b众数为85 c平均数为85 d方差为19解析：选c.易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85，方差为19.7.3某班50名学生右眼视力的检查结果如表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人数113434468106则该班学生右眼视力的众数为_，中位数为_解析：中间位置的数据0.8为中位数，出现次数最多的数据1.2是众数答案：1.20.84从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数甲：_，乙：_，丙：_解析：甲的众数为8，乙的平均数为8，丙的中位数为8.答案：众数平均数中位数a.基础达标1某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()a85、85、85b87、85、86c87、85、85 d87、85、90解析：选c.从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.2(2015合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()a甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选c.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，a错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，b错；甲、乙的成绩的方差分别为(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，c对；甲、乙的成绩的极差均为4，d错3十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象已知数据x1，x2，x3，xn 是上海普通职工n(n3，nn*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn1，则这n1个数据中，下列说法正确的是()a年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变b年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大c年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变d年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：选b.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大4如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为甲，乙；标准差分别是s甲，s乙，则有()a甲乙，s甲s乙 b甲乙，s甲s乙c甲乙，s甲s乙 d甲乙，s甲s乙解析：选c.观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系5(2013高考山东卷)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x91则7个剩余分数的方差为()a. b.c36 d.解析：选b.根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则8794909190(90x)9191，x4.s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2.6已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy_解析：由平均数是10，得xy20，由标准差是，得，(x10)2(y10)28，xy96.答案：967甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则两人的射击成绩较稳定的是_解析：由题意求平均数可得甲乙8，s1.2，s1.6，ss，甲稳定答案：甲8(2013高考辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知7，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，五个整数的平方和为20，则必为0119920，由|x7|3可得x10或x4.由|x7|1可得x8或x6，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.答案：109随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差解：(1)乙班的平均身高较高(可由茎叶图判断或计算得出)(2)因为甲班的平均身高为(158162182)170(cm)，所以甲班的样本方差s22922(2)212(7)2(8)2122(12)202)57.2.10(2014高考课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)(2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s2(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定b.能力提升1下列说法：一组数据不可能有两个众数；一组数据的方差必须是正数；将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的有()a0个 b1个c2个 d3个解析：选c.一组数据的众数不一定唯一，即不对；一组数据的方差必须是非负数，即不对；根据方差的定义知正确；根据频率分布直方图的概念知正确2某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万， 被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为()ass1 bss1css1 d不能确定解析：选c.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则s，s1.若比较s与s1的大小，只需比较(15)2(23)2与(20)2(18)2的大小即可而(15)2(23)27547622，(20)2(18)27247622，所以(15)2(23)2(20)2(18)2.从而ss1.3甲、乙两同学在高考前各做5次立定跳远测试，测得甲的成绩如下(单位：米)：2.20，2.30，2.30，2.40，2.30.若甲、乙两人的平均成绩相同，乙的成绩的方差是0.005，那么甲、乙两人成绩较稳定的是_解析：求得甲的平均成绩为2.30，甲的成绩的方差是0.004.由已知得甲、乙平均成绩相同，但甲的成绩的方差比乙的小，所以甲的成绩较稳定答案：甲4如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有_解析：去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2a1.答案：a2a15(2013高考安徽卷)为调查甲、乙两校