高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数课件 文 北师大版.ppt

2 5指数与指数函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 规定 正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 正数的负分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 幂的运算性质 aman am n ab n 其中a 0 b 0 m n r 1 分数指数幂 知识梳理 0 没有意义 am n amn anbn 2 指数函数的图像与性质 r 0 几何画板展示 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 1 指数函数图像画法的三个关键点画指数函数y ax a 0 且a 1 的图像 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 2 指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图像 底数a b c d与1之间的大小关系为c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内 指数函数y ax a 0 且a 1 的图像越高 底数越大 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 2 分数指数幂可以理解为个a相乘 4 函数y a x是r上的增函数 5 函数 a 1 的值域是 0 6 函数y 2x 1是指数函数 1 教材改编 若函数f x ax a 0 且a 1 的图像经过点p 2 则f 1 等于 考点自测 答案 解析 2 2016 青岛模拟 已知函数f x ax 2 2的图像恒过定点a 则a的坐标为a 0 1 b 2 3 c 3 2 d 2 2 答案 解析 由a0 1知 当x 2 0 即x 2时 f 2 3 即图像必过定点 2 3 3 已知则a b c的大小关系是a c a bb a b cc b a cd c b a 答案 解析 即a b 1 又 c b a 4 计算 答案 解析 2 原式 5 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 由y a2 1 x在 上为减函数 得0 a2 1 1 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一指数幂的运算 例1化简下列各式 解答 原式 原式 解答 思维升华 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 跟踪训练1 2016 江西鹰潭一中月考 计算 解答 原式 2 已知计算 解答 所以x x 1 7 x x 1 2 x2 x 2 2 49 所以x2 x 2 47 题型二指数函数的图像及应用 例2 1 已知实数a b满足等式2017a 2018b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 解析 如图 观察易知 a b的关系为a b 0或0 b a或a b 0 2 已知函数f x 2x 1 af c f b 则下列结论中 一定成立的是a a0c 2 a 2cd 2a 2c 2 答案 解析 几何画板展示 作出函数f x 2x 1 的图像 如图 af c f b 结合图像知 00 0f c 1 2a 2c 1 2a 2c 2 故选d 思维升华 1 已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点 判断所给的图像是否过这些点 若不满足则排除 2 对于有关指数型函数的图像问题 一般是从最基本的指数函数的图像入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 3 有关指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图像 数形结合求解 跟踪训练2 1 函数f x ax b的图像如图 其中a b为常数 则下列结论正确的是a a 1 b1 b 0c 00d 0 a 1 b 0 答案 解析 由f x ax b的图像可以观察出 函数f x ax b在定义域上是减少的 所以0 a 1 函数f x ax b的图像是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 故选d 2 2016 衡水模拟 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 答案 解析 1 1 曲线 y 2x 1与直线y b的图像如图所示 由图像可知 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 几何画板展示 题型三指数函数的性质及应用 命题点1指数函数单调性的应用 例3 1 2016 威海模拟 下列各式比较大小正确的是a 1 72 5 1 73b 0 6 1 0 62c 0 8 0 1 1 250 2d 1 70 3 0 93 1 答案 解析 选项b中 y 0 6x是减函数 0 6 1 0 62 2 2016 陕西西安七十中期中 解关于x的不等式 其中a 0且a 1 解答 x 3或0 x 1 3 x1时 x 3 0 1 当0 a 1时 x 3 0 1 命题点2复合函数的单调性 例4 1 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 答案 解析 4 令t 2x m 则t 2x m 在区间 上是增加的 在区间 上是减少的 而y 2t为r上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上递增 则有 2 即m 4 所以m的取值范围是 4 几何画板展示 2 函数的单调减区间为 答案 解析 设u x2 2x 1 y 在r上为减函数 函数的减区间即为函数u x2 2x 1的增区间 又u x2 2x 1的增区间为 1 f x 的减区间为 1 1 引申探究函数f x 4x 2x 1的单调增区间是 答案 解析 设t 2x 则y t2 2t的单调增区间为 1 令2x 1 得x 0 函数f x 4x 2x 1的单调增区间是 0 0 命题点3函数的值域 或最值 答案 解析 2 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 答案 解析 令ax t 则y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 负值舍去 思维升华 1 在利用指数函数性质解决相关综合问题时 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 2 与指数函数有关的指数型函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 要化归于指数函数来解 跟踪训练3 1 已知函数f x 的值域是 8 1 则实数a的取值范围是a 3 b 3 0 c 3 1 d 3 答案 解析 当0 x 4时 f x 8 1 所以实数a的取值范围是 3 0 几何画板展示 2 2015 福建 若函数f x 2 x a a r 满足f 1 x f 1 x 且f x 在 m 上递增 则实数m的最小值等于 1 答案 典例 2016 日照模拟 已知函数 a b为常数 且a 0 a 1 在区间 0 上有最大值3 最小值 则a b的值分别为 指数函数底数的讨论 现场纠错系列2 与指数函数 对数函数的单调性有关的问题 要对底数进行讨论 错解展示 现场纠错 纠错心得 解析令t x2 2x x 1 2 1 答案2 2 返回 解析令t x2 2x x 1 2 1 若a 1 函数f x at在 1 0 上为增函数 若0 a 1 函数f x at在 1 0 上为减函数 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 根据题意可得f 1 21 2 所以f f 1 f 2 a 22 1 解得a 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 函数f x 2 x 1 的图像是 答案 解析 x 1 0 f x 1 排除c d 又x 1时 f x min 1 排除a 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知a 40 2 b 0 40 2 c 0 40 8 则a a b cb a c bc c a bd b c a 答案 解析 由0 20 40 8 即b c 又a 40 2 40 1 b 0 40 2b 综上 a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 函数y 的值域是a 0 b 0 4 c 0 4 d 0 4 答案 解析 因为4x 0 所以16 4x 16 又因为16 4x 0 所以0 16 4x 16 即0 4 即y 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2015 山东 若函数f x 是奇函数 则使f x 3成立的x的取值范围为a 1 b 1 0 c 0 1 d 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x 为奇函数 f x f x 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 解得0 x 1 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 无解 x的取值范围为 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 济南模拟 已知g x ax 1 f x 对任意x1 2 2 存在x2 2 2 使g x1 f x2 成立 则a的取值范围是a 1 b 1 1 c 0 1 d 1 答案 解析 由题意可得g x x 2 2 的值域为f x x 2 2 的值域的子集 经分析知f x x 2 2 的值域是 4 3 当a 0时 g x 1 符合题意 当a 0时 g x x 2 2 的值域是 2a 1 2a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a 0时 g x x 2 2 的值域是 2a 1 2a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设函数则使得f x 2成立的x的取值范围是 答案 解析 8 当x 1时 由ex 1 2 得x 1 ln2 x 1时恒成立 当x 1时 由 2 得x 8 1 x 8 综上 符合题意的x的取值范围是x 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 的图像有两个公共点 则a的取值范围是 答案 解析 数形结合法 由图像可知0 2a 1 0 a 9 2016 江西鹰潭一中月考 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 1 2 x 则不等式f x 的解集是 答案 解析 设x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x 1 2x 2x 1 当x 0时 1 2 x 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解得x 1 10 当x 1 时 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 则实数m的取值范围是 答案 解析 1 2 解得 1 m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知函数f x x a 1 求f x 的单调区间 解答 令t x a 则f x t 不论a取何值 t在 0 上是减少的 在 0 上是增加的 又y t是减少的 因此f x 的单调递增区间是 0 单调递减区间是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若f x 的最大值等于 求a的值 解答 所以g x x a应该有最小值 2 即g 0 2 从而a 2 12 已知函数 1 若a 1 求f x 的单调区间 解答 当a 1时 令t x2 4x 3 由于函数t x2 4x 3在 2 上是增加的 在 2 上是减少的 而y 在r上是减少的 所以f x 在 2 上是减少的 在 2 上是增加的 即函数f x 的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若f x 有最大值3 求a的值 解答 令g x ax2 4x 3 则f x 由于f x 有最大值3 所以g x 应有最小值 1 即当f x 有最大值3时 a的值为1 13 已知函数f x 2a 4x 2x 1