高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件3 新人教A版选修11.ppt

1 1 3四种命题间的相互关系 阅读教材 根据下面的知识结构阅读教材 并识记四种命题间的相互关系及真假关系 并会将命题等价转化 知识链接 1 四种命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 2 判断命题真假的方法 根据已学过的数学知识 直接判断或推证或取特值否定 主题一 四种命题之间的相互关系 自主认知 1 观察下面四个命题 命题 1 与命题 2 3 4 的条件和结论之间分别有什么关系 1 若f x 是正弦函数 则f x 是周期函数 2 若f x 是周期函数 则f x 是正弦函数 3 若f x 不是正弦函数 则f x 不是周期函数 4 若f x 不是周期函数 则f x 不是正弦函数 提示 命题 1 的条件是命题 2 的结论 且命题 1 的结论是命题 2 的条件 对于命题 1 和 3 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 对于命题 1 和 4 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定 2 通过问题1中的探究 你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗 你能用数学语言描述出来吗 提示 命题 2 3 是互为逆否命题 命题 2 4 是互否命题 命题 3 4 是互逆命题 根据以上探究过程 试着写出四种命题之间的相互关系 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 合作探究 1 判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面 提示 判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了 是否都否定了 2 一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗 提示 可以通过命题的结构形式 即它的条件和结论分析 逆命题与否命题是互为逆否命题 故逆命题与否命题是等价的 3 在四种命题中 原命题是固定的吗 提示 不固定 是相对而言的 过关小练 1 命题p 若m 0 则x2 x m 0有实根 与命题q 若x2 x m 0没有实根 则m 0 的关系是 a 互逆b 互否c 互为逆否d 互否或互为逆否 解析 选c 因q的条件为p的结论的否定 而结论为p的条件的否定 2 命题p 若x2 y2 0 则x y全为零 与命题q 若x2 y2 0 则x y不全为零 的关系是 解析 由四种命题之间的关系知为互否命题 答案 互否命题 主题二 四种命题的真假性及等价关系 自主认知 1 主题一 自主认知 1中的四个命题 它们的真假性如何 提示 命题 1 为真命题 2 是假命题 3 是假命题 4 是真命题 2 若命题 1 为原命题 你发现哪两个命题的真假性相同 这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立 提示 原命题与逆否命题 逆命题与否命题 真假性相同 且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立 根据以上探究过程 试着写出四种命题真假性之间的关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 相同 合作探究 1 在四种命题中 真命题的个数可能有几个 提示 因为原命题与逆否命题 逆命题与否命题均互为逆否命题 它们同真或同假 所以真命题的个数可能是0 2或4 2 当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断 提示 因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 所以当判断一个命题的真假比较困难时 可以利用它与逆否命题的等价性来证明 拓展延伸 等价命题的证法与反证法的区别运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化 而反证法是先假设结论不成立 接着推出矛盾 从而得出假设不成立 过关小练 1 命题 若p不正确 则q不正确 的逆命题的等价命题是 a 若q正确 则p不正确b 若q不正确 则p正确c 若p正确 则q不正确d 若p正确 则q正确 解析 选d 与逆命题等价的是否命题 否命题是若p正确 则q正确 2 已知命题p 若 a b 则a b 则命题p及其逆命题 否命题 逆否命题中 正确命题的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b 因为a b时 a b 则命题p为假命题 命题p的逆命题为 若a b 则 a b 为真命题 又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题 原命题与其逆否命题互为逆否命题 故真命题的个数是2个 归纳总结 1 对四种命题间关系的说明对于两个命题的条件和结论之间的关系 若 只换位不换质 则两者之间就是 互逆命题 若 只换质不换位 则两者之间就是 互否命题 若 既换位又换质 则两者之间就是 互为逆否命题 2 等价命题的两个关注点 1 当两个命题互为逆否命题时 这两个命题是等价命题 2 由于原命题与其逆否命题 原命题的逆命题与原命题的否命题是互为逆否关系 所以原命题与其逆否命题是等价命题 原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题 类型一 四种命题之间的相互关系 典例1 1 命题 若函数y f x 是幂函数 则它的图象不过第四象限 与命题 若函数y f x 不是幂函数 则它的图象过第四象限 的关系是 2 命题 等底等高的两个三角形是全等三角形 与命题 全等三角形是等底等高的两个三角形 的关系是 3 命题 若a b 则c 2a c 2b 与命题 若c 2a c 2b 则a b 的关系是 解题指南 解答本题先要分清涉及两个命题的条件和结论 再比较两个命题的条件和结论之间的关系 进而得到两个命题间的相互关系 解析 1 已知两命题的条件和结论分别互否 故它们是互否关系 2 已知两命题的条件和结论正好互换 故它们是互逆关系 3 已知两命题的条件和结论分别互否且正好交换 故它们是互为逆否关系 答案 1 互否关系 2 互逆关系 3 互为逆否关系 规律总结 判断四种命题关系的两个要领 1 分清条件与结论 在判断四种命题之间的关系时 首先要分清命题的条件和结论 再比较每个命题的条件和结论之间的关系 2 两个互为逆否命题 原命题与逆否命题互为逆否命题 逆命题与否命题也互为逆否命题 巩固训练 下列说法中 不正确的是 a 若p 则q 与 若q 则p 互为逆命题b 若 p 则 q 与 若q 则p 互为逆否命题c 若 p 则 q 是 若p 则q 的逆否命题d 若 p 则 q 与 若p 则q 互为否命题 解析 选c a正确 满足互逆命题的概念 b正确 满足互为逆否命题的概念 d正确 满足互否命题的概念 只有c是错误的 应是否命题 而不是逆否命题 补偿训练 下列说法错误的是 四条边相等的四边形是正方形 的否命题是 四条边相等的四边形不是正方形 若x2 9 则x 3 的否命题的逆否命题是 若x2 9 则x 3 若a b 则7a 7b 的逆否命题是 若7a 7b 则a b 解题指南 从条件和结论的关系上进行分析判断 解析 四条边相等的四边形是正方形 的否命题应为 四条边不相等的四边形不是正方形 说法错误 若x2 9 则x 3 的否命题的逆否命题应为 若x 3 则x2 9 说法错误 正确 答案 类型二 四种命题的真假性 典例2 2014 陕西高考 原命题为 若n n 则 an 为递减数列 关于逆命题 否命题 逆否命题真假性的判断依次如下 正确的是 a 真 真 真b 假 假 真c 真 真 假d 假 假 假 解题指南 因为原命题和其逆否命题同真假 逆命题和否命题同真假 所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可 解析 选a 由已知条件可以判断原命题为真 所以它的逆否命题也为真 而它的逆命题为真 所以它的否命题亦为真 延伸探究 若把本例中 若a2 a3 其他条件不变 则结果如何 解析 由已知条件可以判断原命题为真 所以它的逆否命题也为真 而它的逆命题为真 所以它的否命题亦为真 规律总结 判断四种命题真假的两种方法 1 直接判断 利用命题真假判断的方法判断 2 等价转化 由于互为逆否命题的真假具有等价性 因而在判断四种命题的真假时 可以转化为先判断原命题和逆 否 命题的真假 再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成 巩固训练 已知命题p 若a 0 则方程ax2 2x 0有解 则其原命题 否命题 逆命题及逆否命题中真命题的个数 a 4b 2c 1d 0 解析 选b 易知原命题和逆否命题都是真命题 否命题和逆命题都是假命题 补偿训练 命题 已知a b为正实数 若则a b 与它的逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中 真命题的个数是 a 0b 1c 2d 4 解析 选d 互为逆否的命题同真假 原命题是真命题 故其逆否命题也为真 逆命题为 已知a b为正实数 若a b 则 这个命题是真命题 故否命题也为真 从而有4个是真命题 类型三 等价命题的确定及应用 典例3 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 则a 2 的逆否命题的真假 解题指南 利用原命题与逆否命题的真假性相同判断 解析 方法一 原命题的逆否命题为 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 判断真假如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 2 所以4a 7 0 即抛物线与x轴有交点 所以关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 故原命题的逆否命题为真 方法二 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以a 2 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 延伸探究 1 改变问法 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 则a 2 的逆命题的真假 解析 原命题的逆命题为 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 判断真假如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 2 所以4a 7 1 当0 1时抛物线与x轴有交点 当 0时抛物线与x轴无交点 故原命题为逆命题为假 2 变换条件 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是r 则a 的逆否命题的真假 解析 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为r 且抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以a 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 规律总结 等价命题的两大应用 1 判断命题的真假当判断一个命题的真假比较困难 或者在判断真假时 涉及分类讨论时 通常转化为判断它的逆否命题的真假 因为互为逆否命题的真假是等价的 也就是我们讲的 正难则反 的一种策略 2 正面证明较难入手的命题直接证明较困难时 常常考虑用证明其逆否命题的方法 拓展延伸 转化与化归的数学思想转化与化归的思想方法是应用等价转化的思想方法去解决数学问题 它可以在数与数 形与形 数与形之间进行转换 它可以将较为烦琐 复杂的问题 变成比较简单的问题 通过观察 分析 类比 联想等思维过程 选择运用恰当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说 自己较熟悉的问题 并通过对新问题的求解 达到解决原问题的目的 补偿训练 1 命题 若x y 5 则x 2或y 3 是 命题 填 真 或 假 解析 借助数轴