高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性课件 理.ppt

理数课标版 第二节导数与函数的单调性 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 1 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内 单调递增 2 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内 单调递减 3 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内是 常数函数 教材研读 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 在 a b 内f x 0且f x 0的根有有限个 则f x 在 a b 内是减函数 1 函数f x cosx x在 0 上的单调性是 a 先增后减b 先减后增c 单调递增d 单调递减 答案d 在 0 上 f x sinx 1 0 f x 在 0 上单调递减 故选d 2 2016课标全国 12 5分 若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 a 1 1 b c d 答案cf x 1 cos2x acosx 1 2cos2x 1 acosx cos2x acosx f x 在r上单调递增 则f x 0在r上恒成立 令cosx t 则t 1 1 则 t2 at 0在 1 1 上恒成立 即4t2 3at 5 0在 1 1 上恒成立 令g t 4t2 3at 5 则解得 a 故选c 3 函数y x2 lnx的单调递减区间为 答案 0 1 解析由题意知函数的定义域为 0 由y x 0 x 0 解得0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 4 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是 答案3解析f x 3x2 a 由题意知在 1 上 f x 0 即a 3x2 又x 1 时 3x2 3 a 3 即a的最大值是3 考点一利用导数判断或证明函数的单调性典例1 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 讨论f x 的单调性 解析f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 ii 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 若a 则f x x 1 ex e 所以f x 在 单调递增 考点突破 若a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 所以f x 在 ln 2a 1 单调递增 在 ln 2a 1 单调递减 若a1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 方法技巧用导数法判断函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确定f x 在 a b 内的符号 作出结论 依据是f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 提醒 研究含参数的函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 1 1 2015重庆 19 12分 已知函数f x ax3 x2 a r 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在x 处取得极值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 考点一利用导数求函数的单调区间典例2 2016天津 20 14分 设函数f x x3 ax b x r 其中a b r 求f x 的单调区间 解析由f x x3 ax b 可得f x 3x2 a 下面分两种情况讨论 i 当a 0时 有f x 3x2 a 0恒成立 所以f x 的单调递增区间为 ii 当a 0时 令f x 0 解得x 或x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 的单调递减区间为 单调递增区间为 方法技巧利用导数求函数的单调区间的两个方法方法一 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 提醒 写单调区间时 同增 减 区间不能用 连接 方法二 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义域内的一切根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个区间内的单调性 2 1已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 解析 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处有公共切线 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得a 3 b 3 2 记h x f x g x 当a2 4b 即b a2时 h x x3 ax2 a2x 1 h x 3x2 2ax a2 令h x 0 得x1 x2 a 0 h x 与h x 的情况如下 函数h x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 考点三利用导数解决函数单调性的应用问题典例3 2017郑州二中月考 设函数f x x3 x2 bx c 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 1 求b c的值 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解析 1 f x x2 ax b 由题意得即 2 由 1 得f x x2 ax x x a 结合a 0知 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 3 g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 即x 2 1 时 a 2 当且仅当x 即x 时等号成立 所以满足要求的a的取值范围是 2 方法技巧利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 1 由可导函数f x 在区间 a b 上单调递增 减 可知f x 0 f x 0 在区间 a b 上恒成立 进而列出不等式 2 利用分离参数法求解恒成立问题 3 对等号是否成立进行单独检验 检验参数的取值能否使f x 在整个区间上 或该区间的子区间上 恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点 有限点 处有f x 0 则参数可取这个值 变式3 1在本例 3 中 若g x 在 2 1 内为减函数 如何求解 解析 g x x2 ax 2 且g x 在 2 1 内为减函数 g x 0 即x2 ax 2 0在 2 1 内恒成立 即解之得a 3 3 2 2016德州模拟 函数f