高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《函数的奇偶性与周期性》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海t9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西t2，福建t7等2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东t8等.归纳知识整合1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称探究1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，是否有f(0)0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4.若t为yf(x)的一个周期，那么nt(nz)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nz且n0时，nt是f(x)的一个周期自测牛刀小试1(教材习题改编)下列函数是奇函数的有()f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)；f(x)x31.a1个b2个c3个 d4个解析：选b首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，为奇函数2(2013郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是r上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()af(x)|g(x)|是偶函数bf(x)|g(x)|是奇函数c|f(x)|g(x)是偶函数d|f(x)|g(x)是奇函数解析：选a函数f(x)和g(x)分别是r上的偶函数和奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)令f(x)f(x)|g(x)|，f(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)故f(x)为偶函数即f(x)|g(x)|是偶函数3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()a bc. d.解析：选af(x)是周期为2的奇函数，ffff2.4(2012重庆高考)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析：f(x)x2(a4)x4a为二次函数，其图象的对称轴为x，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得a4.答案：45设函数f(x)是定义在r上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_解析：当x(0，)时，f(x)lg x，当x(0,1)时，f(x)0.又函数f(x)为奇函数，当x(1,0)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x) ；(2)f(x)；(3)f(x)(x1) .自主解答(1)由得x或x.函数f(x)的定义域为，又对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0.f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)2x2且x0.函数f(x)的定义域关于原点对称又x30，f(x).又f(x)，f(x)f(x)f(x)为奇函数(3)由得101x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(3)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，f(x).f(x)f(x)，f(x)为偶函数.函数奇偶性的应用例2(1)(2012上海高考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)(2012新课标全国卷)设函数f(x)的最大值为m，最小值为m，则mm_.自主解答(1)令h(x)f(x)x2，则h(1)h(1)f(1)1f(1)10，则f(1)3，故g(1)f(1)21.(2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，则mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.答案(1)1(2)2与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2(1)设f(x)为定义在r上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()a3b1c1d3(2)已知函数f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且f(3)f(1)，则()af(1)f(1)cf(1)f(5)解析：(1)选a因为f(x)为定义在r上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得 b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.(2)选a函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0,5上是减函数由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间5,5上是减函数选项a中，3f(1)选项b中，01，故f(0)f(1)，选项d中f(3)f(5).函数的周期性及其应用例3(1)(2012山东高考)定义在r上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()a335b338c1 678d2 012(2)(2012江苏高考)设f(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，br.若ff，则a3b的值为_自主解答(1)由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.(2)因为f(x)是定义在r上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案(1)b(2)10函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(xt)f(x)(t0)便可证明函数是周期函数，且周期为t，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若t是函数的周期，则kt(kz且k0)也是函数的周期3(1)(2013济宁模拟)已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且是以2为周期的周期函数若当x0,1)时，f(x)2x1，则f的值为()a b5 c d6(2)已知函数f(x)是定义域为r的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是()a增函数 b减函数c先增后减的函数 d先减后增的函数解析：(1)选c3log62，1log620，即1log0时，x2|cos x|而使问题得以简单解决2解决本题的关键有以下几点(1)正确识别函数f(x)的性质；(2)注意到x0是函数h(x)的一个零点，此处极易被忽视；(3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题1(2013衡阳六校联考)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)()a1log23b1log23c1 d1解析：选cf(x)是(，)上的偶函数，f(2 011)f(2 011)当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)是以4为周期的函数注意到2 01145023,2 0124503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log210.f(2 011)f(2 012)1.2(2013朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且对任意的xr，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()a0 b0或c或 d0或解析：选df(x2)f(x)，t2.又0x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两个不同的公共点另当直线yxa与yx2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y(x2)2x1，x.a，又a点在yxa上，a，综上可知a0或.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()ayx1byx3cy dyx|x|解析：选d由函数的奇偶性排除a，由函数的单调性排除b、c，由yx|x|的图象可知当x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数2已知f(x)是定义在r上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，则f(8)()a0 b1c2 d3解析：选a由题意，f(x)是以4为周期的奇函数，则f(4)f(40)f(0)0，f(8)f(44)f(4)0.3设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，则不等式0的解集为()a(2,0)(2，) b(，2)(0,2)c(，2)(2，) d(2,0)(0,2)解析：选bf(x)为偶函数，0，xf(x)0，或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，x(0,2)或x(，2)4已知函数f(x)则该函数是()a偶函数，且单调递增 b偶函数，且单调递减c奇函数，且单调递增 d奇函数，且单调递减解析：选c当x0时，x0，f(x)f(x)(2x1)(12x)0；当x0，f(x)f(x)(12x)(2x1)0，易知f(0)0.因此，对任意xr，均有f(x)0，即函数f(x)是奇函数当x0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增5(2013广州模拟)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()af(25)f(11)f(80) bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25) df(25)f(80)f(11)解析：选d由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)0在1,3上的解集为()a(1,3) b(1,1)c(1,0)(1,3) d(1,0)(0,1)解析：选cf(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.答案：08若偶函数yf(x)为r上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于_解析：yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.答案：19(2013徐州模拟)设函数f(x)是定义在r上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_解析：f(x)是奇函数，f(1)f(1)1.又f(x)的周期为3，f(1)f(2)1.即0，解得a0或a1.答案：(，1)(0，)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式f(x0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若f(x0f(1)，即0x1，解得x或x0.f(x0f(1)，x1，解得x.原不等式的解集是xx或x0.11已知函数f(x)x2(x0，常数ar)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)x2对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)故f(x)为偶函数；当a0时，f(x)x2(x0，常数ar)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)设2x1x2，f(x1)f(x2)xx x1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立，x1x20，即x1x2(x1x2)a恒成立又x1x24，x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，1612设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则1x0时f(x)x，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为s，则s4soab44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kz)，单调递减区间为4k1,4k3(kz)1若函数f(x)3x3