高考数学 平面向量模块跟踪训练5.doc

2014高考数学模块跟踪训练平面向量基础自测1.在某次测量中，在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60,c点的俯角为70，则bac= .答案 1302.从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则、的大小关系为 .答案 =3.在abc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinacosb,则abc是 三角形.答案 等边4.已知a、b两地的距离为10 km,b、c两地的距离为20 km,现测得abc=120，则a、c两地的距离为 km.答案 10 5.线段ab外有一点c，abc=60,ab=200 km,汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.答案 例题精讲 例1 要测量对岸a、b两点之间的距离，选取相距 km的c、d两点，并测得acb=75，bcd=45，adc=30，adb=45，求a、b之间的距离.解 如图所示，在acd中，acd=120，cad=adc=30，ac=cd= km.在bcd中，bcd=45，bdc=75，cbd=60.bc=.abc中，由余弦定理，得ab2=()+()-2cos75=3+2+-=5，ab=(km).a、b之间的距离为 km. 例2沿一条小路前进，从a到b，方位角（从正北方向顺时针转到ab方向所成的角）是50，距离是3 km，从b到c方位角是110，距离是3 km，从c到d,方位角是140，距离是（9+3）km.试画出示意图，并计算出从a到d的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接ac，在abc中，abc=50+(180-110)=120,又ab=bc=3，bac=bca=30.由余弦定理可得ac= =3(km)，在acd中，acd=360-140-(70+30)=120, cd=3+9.由余弦定理得ad= =(km) 由正弦定理得sincad=. cad=45,于是ad的方位角为50+30+45=125所以，从a到d的方位角是125，距离为km. 例3 如图所示，已知半圆的直径ab=2，点c在ab的延长线上，bc=1，点p为半圆上的一个动点，以dc为边作等边pcd，且点d与圆心o分别在pc的两侧，求四边形opdc面积的最大值.解 设pob=，四边形面积为y，则在poc中，由余弦定理得pc2=op2+oc2-2opoccos=5-4cos.y=sopc+spcd=12sin+（5-4cos）=2sin(-)+.当-=，即=时，ymax=2+.所以四边形opdc面积的最大值为2+.巩固练习 1.某观测站c在a城的南偏西20的方向.由a城出发的一条公路，走向是南偏东40，在c处测得公路上b处有一人距c为31千米正沿公路向a城走去，走了20千米后到达d处，此时cd间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达a城？解 设acd=，cdb=.在bcd中，由余弦定理得cos=-，则sin=,而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60=+=,在acd中，由正弦定理得=,ad=15(千米).答 这个人再走15千米就可到达a城.2.如图所示，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得bcd=，bdc=，cd=s，并在点c测得塔顶a的仰角为，求塔高ab.解 在bcd中，cbd=-，由正弦定理得=，所以bc=在rtabc中，ab=bctanacb=.3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图所示，要求acb=60，bc的长度大于1米，且ac比ab长0.5米.为了使广告牌稳固，要求ac的长度越短越好，求ac最短为多少米？且当ac最短时，bc长度为多少米？解 设bc=a（a1）,ab=c，ac=b，b-c=.c2=a2+b2-2abcos60，将c=b-代入得(b-)=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-.由a1,知a-10. b=(a-1)+ +2+2,当且仅当a-1=时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+.答 ac最短为(2+)米，此时，bc长为(1+)米.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.海上有a、b两个小岛相距10海里，从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75视角，则b、c的距离是 海里.答案 52.为测量某塔ab的高度，在一幢与塔ab相距20 m的楼顶处测得塔顶a的仰角为30，测得塔基b的俯角为45，那么塔ab的高度是 m.答案 20(1+)3.如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为 km. 答案 a4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 5.如图所示，在河岸ac测量河的宽度bc，图中所标的数据a，b，c，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 （填序号）.c和c和bc和b和答案 6.如图，一货轮航行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15,与灯塔s相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时答案 20(-)7.在abc中，若c=60，则+= .答案 18.（2008苏州模拟）在abc中，边a,b,c所对角分别为a,b,c，且=,则a= .答案 二、解答题9.在abc中，a，b，c分别为角a、b、c的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2.（1）f（1）=0且b-c=，求角c的大小；（2）若f（2）=0，求角c的取值范围.解 （1）f（1）=0，a2-(a2-b2)-4c2=0，b2=4c2，b=2c，sinb=2sinc，又b-c=.sin(c+)=2sinc，sinccos+coscsin=2sinc，sinc-cosc=0，sin(c-)=0，又-c-，c=.（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0，a2+b2=2c2，cosc=，又2c2=a2+b22ab，abc2，cosc，又c（0，），0c.10.（2008泰安模拟）在abc中，a,b,c分别为角a，b，c的对边.已知a=1,b=2,cosc=.(1)求边c的值；（2）求sin(c-a)的值.解（1）c2=a2+b2-2abcosc=12+22-212=2，c=（2）cosc=，sinc=.在abc中，=,即=.sina=,ab,a为锐角，cosa=.sin(c-a)=sinccosa-coscsina=-=.11.如图所示，扇形aob，圆心角aob等于60，半径为2，在弧ab上有一动点p，过p引平行于ob的直线和oa交于点c，设aop=，求poc面积的最大值及此时的值.解 cpob，cpo=pob=60-，ocp=120.在poc中，由正弦定理得=，=，cp=sin.又=，oc=sin（60-）.因此poc的面积为s（）=cpocsin120=sin（60-）=sinsin（60-）=sin(cos-sin)=2sincos-sin2=sin2+cos2-=sin(2+)-.=时，s（）取得最大值为.12.在海岸a处，发现北偏东45方向，距离a（-1）n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a 2 n mile的c处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在d处相遇，则可先在abc中求出bc，再在bcd中求bcd.设缉私船用t h在d处追上