高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《同角三角函数的基本关系与诱导公式》理 新人教A版.doc

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年辽宁t7等2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用.归纳知识整合1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .探究1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2cos21，tan 4等都是成立的，而sin2cos21就不成立2诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即k2(kz)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号探究2.有人说sin(k)sin()sin (kz)，你认为正确吗？提示：不正确当k2n(nz)时，sin(k)sin(2n)sin()sin ；当k2n1(nz)时，sin(k)sin(2n1)sin(2n)sin()sin .3诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与的大小有关？提示：无关，只是把从形式上看作锐角，从而2k(kz)，分别是第一，三，四，二，一，二象限角自测牛刀小试1(教材习题改编)已知cos()，则sin 的值为()ab.c. d解析：选dcos()cos ，cos ，sin .2tan 690的值为()a b.c. d解析：选atan 690tan(302360)tan(30)tan 30.3(教材习题改编)若tan 2，则的值为()a bc. d.解析：选c.4(教材习题改编)已知tan ，则cos sin _.解析：tan ，cos sin cos sin cos sin .答案：5计算sincostan_.解析：原式sincostansincostansincos1.答案：1同角三角函数关系式的应用例1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值自主解答(1)法一：联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且00，cos 0.sin cos .由得tan .(2).tan ，.保持本例条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由例题可知tan .(1).(2)sin22sin cos .同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.1已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .解：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2.由得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos .诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值自主解答(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2(1)已知sin 是方程5x27x60的根，且是第三象限角，则()a.bc d.(2)设f()，则f_.解析：(1)选b方程5x27x60的根为x12，x2，由题知sin ，cos ，tan .原式tan2.(2)f()，f.答案：诱导公式在三角形中的应用例3在abc中，若sin(2a)sin(b)，cos acos(b)，求abc的三个内角自主解答由已知得22得2cos2a1即cos a或cos a.(1)当cos a时，cos b，又a、b是三角形的内角，a，b，c(ab).(2)当cos a时，cos b.又a、b是三角形的内角，a，b，不合题意综上知，a，b，c.1三角形中的诱导公式在三角形abc中常用到以下结论：sin(ab)sin(c)sin c，cos(ab)cos(c)cos c，tan(ab)tan(c)tan c，sinsincos ，coscossin.2求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角3在abc中，sin acos a，cos acos(b)，求abc的三个内角解：sin acos a，12sin acos a2，sin2a1.a为abc的内角，2a，a.cos acos(b)，coscos b，cos b.0b，b.abc，c.a，b，c.1个口诀诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限1个原则诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了3种方法三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.3个防范应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 易误警示应用同角三角函数平方关系的误区典例(2011重庆高考)若cos ，且，则tan _.解析依题意得sin ，tan .答案1解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件的范围，求得sin 的两个值而致误；(2)只注意到的范围，但判断错sin 的符号而导致tan 的值错误2由同角三角函数的平方关系求sin 或cos 时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角的范围，则sin 或cos 的符号应有两种情况，不可漏掉(2)若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内sin 或cos 的符号，不合题意的一定要舍去1(2013福州模拟)已知，tan 2，则cos _.解析：依题意得由此解得cos2，又，因此cos .答案：2(2013泰州模拟)若，sin 2，则cos sin 的值是_解析：(cos sin )21sin 2.，cos sin .cos sin .答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1是第一象限角，tan ，则sin ()a.b.c d解析：选btan ，sin2 cos21，且是第一象限角，所以sin .2若sin，则cos()a b.c. d解析：选bcoscossin.3(2013安徽名校模拟)已知tan x2，则sin2x1()a0 b.c. d.解析：选bsin2x1.4已知f()，则f的值为()a. bc d.解析：选cf()cos ，fcoscoscos.5(2013西安模拟)已知2tan sin 3，0，则sin ()a. bc. d解析：选b由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .6若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()a1 b1c1 d1解析：选b由题意知：sin cos ，sin cos .(sin cos )212sin cos ，1，解得m1，又4m216m0，m0或m4，m1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7化简_.解析：原式sin sin 0.答案：08若cos(2)，且，则sin()_.解析：由诱导公式可知cos(2)cos ，sin()sin ，由sin2cos21可得，sin ，sin .答案：9已知sin()cos().则sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1.又，sin 0，cos 0.sin cos .答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知sin(3)，求的值解：sin(3)sin ，sin .原式18.11已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值解：(1)原式sin cos .由条件知sin cos ，故.(2)由sin22sin cos cos212sin cos (sin cos )2，得m.(3)由知或又(0,2)，故或.12是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由解：假设存在、使得等式成立，即有由诱导公式可得22得sin23cos22，解得cos2.又，或.将代入得cos .又(0，)，代入可知符合将代入得cos .又(0，)，代入可知不符合综上可知，存在，满足条件1记cos(80)k，那么tan 100()a. bc. d解析：选bcos(80)cos 80k，sin 80，tan 80，tan 100tan 80.2sin 585的值为()a b.c d.解析：选a注意到58536018045，因此sin 585sin(36018045)sin 45.3若cos 2sin ，则tan ()a. b2c d2解析：选bcos 2sin ，结合sin2cos21得(sin 2)20，sin ，cos ，tan 2.4求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 20