全国各地中考数学分类解析 专题38 等腰（边）三角形.doc

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题：38等腰（边）三角形一、选择题1. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】 a13 b17 c22 d17或22【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：若4为腰长，9为底边长，由于4+49，则三角形不存在；9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。这个三角形的周长为9+9+4=22。故选c。2. （2012广东肇庆3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【 】 a16 b18 c20 d16或20【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析：当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8-488+4，符合题意。此三角形的周长=8+8+4=20。故选c。3. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】a.13 b.17 c.22 d.17或22【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。故选c。4. （2012江苏徐州3分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】a9 b7 c12 d9或12【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则另一边可能是2或5。但根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三边关系，2，2，5不构成三角形。因此这个等腰三角形的三边只能是2，5，5，周长为12。故选c。5. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点a在第一象限，点p在x轴上，若以p，o，a为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点p共有【 】a 2个 b 3个 c4个 d5个【答案】c。【考点】等腰三角形的判定。【分析】如图，分op=ap（1点），oa=ap（1点），oa=op（2点）三种情况讨论。 以p，o，a为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点p共有4个。故选c。6. （2012湖北荆门3分）如图，abc是等边三角形，p是abc的平分线bd上一点，peab于点e，线段bp的垂直平分线交bc于点f，垂足为点q若bf=2，则pe的长为【 】a 2 b 2 c d 3【答案】c。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】abc是等边三角形，点p是abc的平分线，ebp=qbf=30，bf=2，fqbp，bq=bfcos30=2。fq是bp的垂直平分线，bp=2bq=2。在rtbef中，ebp=30，pe=bp=。故选c。7. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，abc为等边三角形，点e在ba的延长线上，点d在bc边上，且ed=ec若abc的边长为4，ae=2，则bd的长为【 】a2 b3 c d【答案】a。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。【分析】延长bc至f点，使得cf=bd，ed=ec，edb=ecf。ebdefc（sas）。b=f。abc是等边三角形，b=acb。acb=f。acef。ae=cf=2。bd=ae=cf=2。故选a。8. （2012湖北孝感3分）如图，在abc中，abac，a36，bd平分abc交ac于点d若ac2，则ad的长是【 】a b c d【答案】c。【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】a=dbc=36，c公共，abcbdc，且ad=bd=bc。设bd=x，则bc=x，cd=2x，整理得：x22x4=0，解得：。x为正数，。故选c。9. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】a7 b6 c5 d4 【答案】 c。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】如图，abc中ab=ac，ad是bc边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，adbc。 在rtabd中，bd=6=3，ad=4，根据勾股定理，得ab=5。 故选c。10. （2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，1+2=【 】。a225 b235 c270 d与虚线的位置有关【答案】c。【考点】等腰直角三角形的性质，多边形内角和定理。【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数，再根据四边形内角和定理解答即可：如图，abc是等腰直角三角形，a+b=90，四边形的内角和是360， 1+2=360-（a+b）=360-90=270。故选c。11. （2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+的度数是【 】a b c d 【答案】c。【考点】等边三角形的性质，多边形内角和定理。【分析】等边三角形每个内角为60，两底角和=120。又四边形内角和为360，+=360120=240。故选c。12. （2012四川广安3分）已知等腰abc中，adbc于点d，且ad=bc，则abc底角的度数为【 】a45 b75 c45或75 d60【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据题意画出图形，注意分别从bac是顶角与bac是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：如图1：ab=ac，adbc，bd=cd=bc，adb=90。ad=bc，ad=bd。 b=45。即此时abc底角的度数为45。如图2，ac=bc，adbc，adc=90。ad=bc，ad=ac，c=30。cab=b=（1800a）2=75。即此时abc底角的度数为75。综上所述，abc底角的度数为45或75。故选c。13. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，则图中的等腰直角三角形有【 】a4个 b6个 c8个 d10个【答案】c。【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。【分析】正方形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，ab=bc=cd=ad，oa=ob=oc=od，四个角都是直角，acbd。图中的等腰直角三角形有aob、aod、cod、boc、abc、bcd、acd、bda八个。故选c。14. （2012贵州铜仁4分）如图，在abc中，abc和acb的平分线交于点e，过点e作mnbc交ab于m，交ac于n，若bm+cn=9，则线段mn的长为【 】a6b7c8d9【答案】d。【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】abc、acb的平分线相交于点e，mbe=ebc，ecn=ecb，mnbc，ebc=meb，nec=ecb。mbe=meb，nec=ecn。bm=me，en=cn。mn=me+en，即mn=bm+cn。bm+cn=9mn=9。故选d。15. （2012山东威海3分）如图，ab，点a在直线a上，点c在直线b上，bac=900，ab=ac。若1=200，则2的度数为【 】 a.250 b.650 c.700 d.750【答案】b。【考点】等腰直角三角形的性质，平行线的性质。【分析】bac=900，ab=ac，abc=450。 1=200，abc1=650。 又ab，2=abc1=650。故选b。16. （2012山东潍坊3分）轮船从b处以每小时50海里的速度沿南偏东300方向匀速航行，在b处观测灯塔a位于南偏东750方向上，轮船航行半小时到达c处，在c处观测灯塔a位于北偏东600方向上，则c处与灯塔a的距离是【 】海里a b c50 d25【答案】d。【考点】方向角，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，根据题意， 1=2=30，又acd=60，abc=30+60=90，cba=7530=45。abc为等腰直角三角形。bc=500.5=25，ac=bc=25（海里）。故选d。17. （2012江西南昌3分）等腰三角形的顶角为80，则它的底角是【 】a20b50c60d80【答案】b。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】等腰三角形的一个顶角为80，底角=（18080）2=50。故选b。18. （2012江西省3分）等腰三角形的顶角为80，则它的底角是【 】a20b50c60d80【答案】b。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】等腰三角形的一个顶角为80，底角=（18080）2=50。故选b。19. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，abc中，ab=ac=10，bc=8，ad平分bac交bc于点d， 点e为ac的中点，连接de，则cde的周长为【 】a. 20 b. 12 c. 14 d. 13【答案】c。【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】ab=ac，ad平分bac，bc=8，根据等腰三角形三线合一的性质得adbc，cd=bd=bc=4。点e为ac的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得de=ce=ac=5。cde的周长=cd+de+ce=4+5+5=14。故选c。二、填空题1. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 【答案】4。【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：， 它们的一边重合时（图1），重心距为2，解得a=3。当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。2. （2012浙江宁波3分）如图，aebd，c是bd上的点，且ab=bc，acd=110，则eab= 度【答案】40。【考点】等腰三角形的性质，平角定义，三角形内角和定理，平行线的性质。【分析】ab=bc，acb=bac。acd=110，acb=bac=70。b=40，aebd，eab=40。3. （2012江苏淮安3分）如图，abc中，ab=ac，adbc，垂足为点d，若bac=700，则bad= 0。【答案】35。【考点】等腰三角形的性质。【分析】由ab=ac，adbc，根据等腰三角形三线合一的性质，得bad=cad；由bac=700，得bad=350。4. （2012福建泉州4分）如图，在abc中，ab=ac，bc=6，adbc于点d，则bd的长是 .【答案】3。【考点】等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果： ab=ac，bc=6，adbc。bd=bc=3。5. （2012湖北随州4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 .【答案】6和4或5和5。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】当腰是6时，则另两边是4，6，且4+66，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+56，满足三边关系定理。故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。6. （2012湖北黄冈3分）如图，在 abc 中，ab=ac，a=36 ，ab的垂直平分线交ac 于点e，垂足为点d，连接be，则ebc 的度数为 .【答案】36。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】de是ab的垂直平分线，ae=be。a=36 ，abe=a=36。ab=ac，abc=c=。ebc=abcabe=7236=36。7. （2012湖北襄阳3分）在等腰abc中，a=30，ab=8，则ab边上的高cd的长是 【答案】4或或。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据题意画出ab=ac，ab=bc和ac=bc时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：（1）如图，当ab=ac时，a=30，cd=ac=8=4。（2）如图，当ab=bc时，则a=acb=30。acd=60。bcd=30cd=cosbcdbc=cos308=4。（3）如图，当ac=bc时，则ad=4。cd=tanaad=tan304=。综上所述，ab边上的高cd的长是4或或。8. （2012四川广元3分） 已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是 【答案】50，50或80，20。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80时，另外两个内角=（18080）2=50；（2）若等腰三角形的底角为80时，顶角为1808080=20。等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是50，50或80，20。9. （2012贵州遵义4分）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为 【答案】20cm。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】分两种情况讨论： （1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形（2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20（cm）。这个等腰三角形的周长是20cm。10. （2012贵州黔东南4分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 个正三角形【答案】4。【考点】等边三角形的性质。【分析】用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形。故答案为4。11. （2012山东滨州4分）如图，在abc中，ab=ad=dc，bad=20，则c= 【答案】40。【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。【分析】ab=ad，bad=20，b=。adc是abd的外角，adc=b+bad=80+20=100。ad=dc，c=。12. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形abc中，d是bc边上的一点，延长ad至e，使ae=ac，bae的平分线交abc的高bf于点o，则tanaeo= 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】abc是等边三角形，abc=60，ab=bc。bfac，abf=abc=30。ab=ac，ae=ac，ab=ae。ao平分bae，bao=eao。在bao和eao中，ab=ae，bao=eao，ao=ao，baoeao（sas）。aeo=abo=30。tanaeo=tan30=。13. （2012山东日照4分）如图，过a、c 、d三点的圆的圆心为e，过b、f、e三点的圆的圆心为d，如果a=63，那么= 来源【答案】180。【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。【分析】如图，连接ce，de， 过a、c 、d三点的圆的圆心为e，过b、f、e三点的圆的圆心为d， ae=ce=de=db。a=ace，ecd=cde，deb=dbe=。 a=63，aec=18002630=540。 又ecd=cde=2，aec=ecddbe=3，即3=540。=180。14. （2012广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80，则它的底角是 0【答案】50或80。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分两种情况：当80的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180-80）2=50；当80的角为等腰三角形的底角时，其底角为80。故它的底角度数是500或800。15. （2012广西钦州3分）已知等腰三角形的顶角为80，那么它的一个底角为 【答案】50。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】等腰三角形的顶角等于80，又等腰三角形的底角相等，底角等于（18080）2=50。16. （2012甘肃白银4分）如图，在abc中，ac=bc，abc的外角ace=100，则a= 度【答案】50。【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质。【分析】ac=bc，a=b（等角对等边）。a+b=ace（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），a=ace=100=50。17. （2012青海西宁2分）如图，在菱形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，ac12，bd16，e为ad的中点，点p在x轴上移动小明同学写出了两个使poe为等腰三角形的p点坐标为(5，0)和(5，0)请你写出其余所有符合这个条件的p点的坐标 18. （2012黑龙江绥化3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 【答案】11或13。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13。故答案为：11或13。19. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形abcd中，ab=10，bc=3，e为ab边的中点，p为cd边上的点，且aep是腰长为5的等腰三角形，则dp= 【答案】4或1或9。【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，根据题意， ab=10，bc=3，e为ab边的中点， ae=5，ad=3。 若ae=ap=5，则在rtadp1中， 由勾股定理，得dp1=4。 若ae=pe=5，a作efcd于点f，则ef=3，df=5在rtefp2中，p2f=4，dp2=dfp2f=1：在rtefp3中，p3f=4，dp3=dfp3f=9。另ap=ep=5不成立。综上所述，dp=4或1或9。20. （2012黑龙江哈尔滨3分）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 【答案】16或17。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16；（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17。这个等腰三角形的周长是16或17。21. （2012黑龙江龙东地区3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 。【答案】8或或。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况： （1）如图，当ad为底边上的高时， ab=ac，adbc，bd=cd，在rtabd中，ad=3，ab=5，根据勾股定理得：。bc=2bd=8。 （2）如图，当cd为腰上的高时，若等腰三角形为锐角三角形， 在rtacd中，ac=5，cd=3，根据勾股定理得：。bd=abad=54=1。 在rtbdc中，cd=3，bd=1，根据勾股定理得：。若等腰三角形为钝角三角形， 在rtacd中，ac=5，cd=3，根据勾股定理得：。bd=abad=54=9。在rtbdc中，cd=3，bd=9，根据勾股定理得：。综上所述，等腰三角形的底边长为8或或。三、解答题1. （2012重庆市6分）如图，在rtabc中，bac=90，点d在bc边上，且abd是等边三角形若ab=2，求abc的周长（结果保留根号）【答案】解：abd是等边三角形，b=60。bac=90，c=1809060=30。bc=2ab=4。在rtabc中，由勾股定理得：。abc的周长是ac+bc+ab=+4+2=6+。答：abc的周长是6+。【考点】解直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等边三角形性质求出b=60，求出c=30，求出bc=4，根据勾股定理求出ac，相加即可求出答案。2. （2012广东肇庆7分）如图，已知acbc，bdad，ac 与bd 交于o，ac=bd 求证：（1）bc=ad； （2）oab是等腰三角形【答案】证明：（1）acbc，bdad，abc与bad是直角三角形，在abc和bad中， ac=bd ，ab=ba，acb=bda =900，abcbad（hl）。bc=ad。（2）abcbad，cab=dba，oa=ob。oab是等腰三角形。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）根据acbc，bdad，得出abc与bad是直角三角形，再由ac=bd，ab=ba，根据hl得出abcbad，即可证出bc=ad。（2）根据abcbad，得出cab=dba，从而证出oa=ob，oab是等腰三角形。3. （2012湖北随州8分）如图,在abc中，ab=ac，点d是bc的中点，点e在ad上.求证：（1）abdacd；(2)be=ce【答案】证明：（1）d是bc的中点，bd=cd。 在abd和acd中，bd=cd，ab=ac，ad=ad(公共边)，abcacd（sss）。（2）由（1）知abdacd，bad=cad，即bae=cae。在abe和ace中， ab=ac，bae=cad，ae=ae，abeace （sas）。be=ce（全等三角形的对应边相等）。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的判定定理sss可以证得ab