高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题课件 文.ppt

文数课标版 第九节圆锥曲线的综合问题 考点一圆锥曲线中的范围 最值问题典例1已知点a 0 2 椭圆e 1 a b 0 的离心率为 f是椭圆e的右焦点 直线af的斜率为 o为坐标原点 1 求e的方程 2 设过点a的动直线l与e相交于p q两点 当 opq的面积最大时 求l的方程 考点突破 解析 1 设f c 0 由条件知 得c 又 所以a 2 b2 a2 c2 1 故e的方程为 y2 1 2 当l x轴时不合题意 故设l y kx 2 k 0 p x1 y1 q x2 y2 将y kx 2代入 y2 1得 1 4k2 x2 16kx 12 0 由题意知 16 4k2 3 0 解得k2 x1 2 从而 pq x1 x2 又点o到直线pq的距离d 所以s opq d pq 设 t 则t 0 s opq 因为t 4 当且仅当t 2 即k 时等号成立 且满足 0 所以 当 opq的面积最大时 l的方程为y x 2或y x 2 方法技巧圆锥曲线中的最值 范围 问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是代数法 即把要求最值 范围 的几何量或代数表达式表示为某个 些 变量的函数 然后利用函数方法 不等式方法等进行求解 1 1已知a b c是椭圆m 1 a b 0 上的三点 其中点a的坐标为 2 0 bc过椭圆的中心 且 0 2 1 求椭圆m的方程 2 过点 0 t 的直线l 斜率存在时 与椭圆m交于两点p q 设d为椭圆m与y轴负半轴的交点 且 求实数t的取值范围 解析 1 因为 2 且bc过 0 0 则 oc ac 因为 0 所以 oca 90 所以c 由题意知a 2 所以设椭圆m的方程为 1 将c点坐标代入得 1 解得b2 4 所以椭圆m的方程为 1 2 由条件及 1 知d 0 2 当k 0时 显然 2 t 2 当k 0时 设l y kx t 由消去y得 1 3k2 x2 6ktx 3t2 12 0 由 0可得t2 4 12k2 设p x1 y1 q x2 y2 pq中点h x0 y0 则x0 y0 kx0 t 所以h 由于 所以dh pq 则kdh 即 化简得t 1 3k2 所以t 1 将 代入 得 t2 4t 故1 t 4 所以t的范围是 1 4 综上可得t 2 4 考点二圆锥曲线中的定点 定值问题典例2 2016北京 19 14分 已知椭圆c 1过a 2 0 b 0 1 两点 1 求椭圆c的方程及离心率 2 设p为第三象限内一点且在椭圆c上 直线pa与y轴交于点m 直线pb与x轴交于点n 求证 四边形abnm的面积为定值 解析 1 由题意得 a 2 b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 又c 所以离心率e 2 证明 设p x0 y0 x0 0 y0 0 则 4 4 又a 2 0 b 0 1 所以 直线pa的方程为y x 2 令x 0 得ym 从而 bm 1 ym 1 直线pb的方程为y x 1 令y 0 得xn 从而 an 2 xn 2 所以四边形abnm的面积 s an bm 2 从而四边形abnm的面积为定值 方法技巧1 定点问题的常见解法 1 根据题意选择参数 建立一个含参数的直线系或曲线系方程 经过分析 整理 对方程进行等价变形 以找出适合方程且与参数无关的坐标 该坐标对应的点即为所求定点 2 从特殊位置入手 找出定点 再证明该点符合题意 2 求定值问题常见的方法 1 从特殊情况入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 1已知椭圆c y2 1 a 1 的上顶点为a 右焦点为f 直线af与圆m x 3 2 y 1 2 3相切 1 求椭圆c的标准方程 2 若不过点a的动直线l与椭圆c交于p q两点 且 0 求证 直线l过定点 并求该定点的坐标 解析 1 圆m的圆心为 3 1 半径r 由题意知a 0 1 f c 0 则直线af的方程为 y 1 即x cy c 0 由直线af与圆m相切 得 解得c2 2 所以a2 c2 1 3 故椭圆c的方程为 y2 1 2 解法一 由 0 知ap aq 从而直线ap与坐标轴不垂直 由a 0 1 可设直线ap的方程为y kx 1 k 0 则直线aq的方程为y x 1 k 0 将y kx 1代入椭圆c的方程 y2 1中 整理 得 1 3k2 x2 6kx 0 解得x 0或x p 即p 将上式中的k换成 得q 直线l的方程为y 化简得直线l的方程为y x 因此直线l过定点 解法二 由 0知ap aq 从而直线pq与x轴不垂直 故可设直线l的方程为y kx t t 1 将其与椭圆方程联立得 消去y 整理得 1 3k2 x2 6ktx 3 t2 1 0 设p x1 y1 q x2 y2 则 由 0 得 x1 y1 1 x2 y2 1 1 k2 x1x2 k t 1 x1 x2 t 1 2 0 将 代入 得t 直线l过定点 考点三圆锥曲线中的探索性问题典例3 2015四川 20 13分 如图 椭圆e 1 a b 0 的离心率是 点p 0 1 在短轴cd上 且 1 1 求椭圆e的方程 2 设o为坐标原点 过点p的动直线与椭圆交于a b两点 是否存在常数 使得 为定值 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由已知 得点c d的坐标分别为 0 b 0 b 又点p的坐标为 0 1 且 1 e 于是解得a 2 b 所以椭圆e的方程为 1 2 存在 当直线ab的斜率存在时 设直线ab的方程为y kx 1 a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 联立得 2k2 1 x2 4kx 2 0 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 所以 x1 x2 x1x2 方法技巧 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 其步骤如下 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 列出与该元素相关的方程 组 若方程 组 有实数解 则元素存在 否则 元素不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法 3 1在平面直角坐标系xoy中 经过点 0 且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1有两个不同的交点p和q 1 求k的取值范围 2 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为a b 是否存在常数k 使得向量 与共线 如果存在 求k的值 如果不存在 请说明理由 解析 1 由已知条件知 直线l的方程为y kx 代入椭圆方程得 kx 2 1 整理得x2 2kx 1 0 直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于 8k2 4 4k2 2 0 解得k 即k的取值范围为 2 不存在 理由如