全国高中数学竞赛二试模拟训练题(49)(1).doc

加试模拟训练题（49）2. 设x1，x2，xn是满足下列条件的实数：|x1+x2+xn|=1证明：存在x1，x2，xn的一个排列y1，y2，yn，使得3.两个人玩下面的游戏一个人报一个数字，另外一个人则按自己的意愿用这个数字替换以下差式中的一个星号，这样进行8次，将星号换成8个数字报数的人要使差尽量大，而第二个人要使差尽量小证明：1无论第一个人怎样说，第二个人总能使所得的差不大于40002无论第二个人怎样替换，第一个人总能使差不小于40004. 设n为一个固定的正整数证明：对任何非负整数k，下述不定方程有无穷多个正整数解（x1，x2，xn；y）加试模拟训练题（49）2. 设x1，x2，xn是满足下列条件的实数：|x1+x2+xn|=1证明：存在x1，x2，xn的一个排列y1，y2，yn，使得【题说】第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题3本题由俄罗斯提供【证】对于x1，x2，xn的任意一个排列=y1，y2，yn，记s（）为和式y1+2y2+nyn的值令r=（n+1）/2=（n+1）（x1+x2+xn）对值都大于r，它们必然取相反的符号，一个大于r，另一个小于-r从0开始，通过若干次交换两个相邻元素的位置，我们可以得到任意一个排列特别地，存在一个排列的序号0，1，m，使i的两个相邻元素的位置得到的设i=y1，y2，yni+1是由i交换yk与yk+1而得到的，则|s（i+1）-s（i）|=|kyk+（k+1）yk+1-kyk-（k+1）yk+1|=|yk-yk+1|yk|yk+1|2r这说明在序列s（0），s（1），s（m）中，任意两个相邻项的距离不超过2r由于s（0）和s（m）均落在区间-r，r的外面，且分别位于该区间的两侧，所以至少有一个数s（i）落在该区间内，即存在置换i使得|s（i）|r3. 两个人玩下面的游戏一个人报一个数字，另外一个人则按自己的意愿用这个数字替换以下差式中的一个星号，这样进行8次，将星号换成8个数字报数的人要使差尽量大，而第二个人要使差尽量小证明：1无论第一个人怎样说，第二个人总能使所得的差不大于40002无论第二个人怎样替换，第一个人总能使差不小于4000【题说】第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题6本题可推广至n(1)位数，这时对双方都最有利的“值”等于410n1【证】 1第一个人说的数字为0至3(或6至9)时，第二个人将它放在被减数(或减数)的首位易知这样便可使差4000第一个人说的数字为4(或5)时，第二个人将它放在被减数(减数)的首位，然后只要有非0(非9)的数字，便放在减数(被减数)的首位，最后的差必40002第一个人先报4或5若第二个人将它放在被减数(或减数)首位，第一个人以后只报0(或9)若第二个人将4或5放在其他数位上，根据从左到右，第一个数字出现在被减数或减数上，第一个人报4或5这样继续下去(如果在同一数位上，被减数与减数均有数字，则根据其余的数位决定报4或5)、直至被减数(或减数)首位出现4或5，第一个以后只报0(或9)即可4. 设n为一个固定的正整数证明：对任何非负整数k，下述不定方程有无穷多个正整数解（x1，x2，xn；y）【题说】第二十七届（1995年）加拿大数学奥林匹克题4【证】由立方和公式令c=n（n+1）/2，对任意正整数q，有（ckq3k+2）3+（2ckq3k+2）3+（nckq3k+2）3=c3kq3(3k+2)（13+23+ +n3）=c3